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2022-2023学年江西师大附中高二（下）月考数学试卷（3月份）

发布：2024/7/19 8:0:9

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．若数列的前4项分别是
1
2
，-
1
3
，
1
4
，-
1
5
，则此数列的一个通项公式为（　　）
A．
（
-
1
）
n
n
B．
（
-
1
）
n
-
1
n
C．
（
-
1
）
n
+
1
n
+
1
D．
（
-
1
）
n
n
+
1
组卷：204引用：8难度：0.9
解析
2．方程x²+4x+1=0的两根的等差中项为（　　）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
组卷：217引用：2难度：0.8
解析
3．等比数列{a_n}中，a₂a₄=16，a₁+a₅=17，则a₃=（　　）
A．-4 B．2 C．4 D．±4
组卷：291引用：3难度：0.7
解析
4．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₁₉=57，则3a₅-a₁-a₄=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
组卷：59引用：6难度：0.7
解析
5．已知正项等比数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n（n∈N₊），且
1
a
1
-
1
a
2
=
2
a
3
，则S₅=（　　）
A．15 B．16 C．31 D．32
组卷：47引用：2难度：0.8
解析
6．从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记X为取得红球的个数，则其期望E（X）=（　　）
A．1 B．
3
2
C．2 D．3
组卷：129引用：2难度：0.7
解析
7．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：

x 15 16 18 19 22

y 102 98 115 115 120

由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a,则点（a,b）与直线x+18y=110的位置关系是（　　）
A．点在直线左侧 B．点在直线右侧
C．点在直线上 D．无法确定
组卷：24引用：2难度：0.8
解析

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四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（2）为验证抽球试验成功的概率不超过
1
2
，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：

t 1 2 3 4 5

y 232 98 60 40 20

求y关于t的回归方程
̂
y
=
̂
b
t
+
̂
a
，并预测成功的总人数（精确到1）；
（3）证明：
1
2
2
+
（
1
-
1
2
2
）
1
3
2
+
（
1
-
1
2
2
）
（
1
-
1
3
2
）
1
4
2
+
⋯
+
（
1
-
1
2
2
）
（
1
-
1
3
2
）
⋯
（
1
-
1
n
2
）
1
（
n
+
1
）
2
＜
1
2
．
附：经验回归方程系数：
̂
b
=
n
∑
i
=
1
x
i
y
i
-
n
x
•
y
n
∑
i
=
1
x
2
i
-
n
x
2
，
̂
a
=
y
-
̂
b
x

参考数据：
5
∑
i
=
1
x
2
i
=
1
.
46
，
x
=
0
.
46
，
x
2
=
0
.
212
（其中
x
i
=
1
t
i
，
x
=
1
5
5
∑
i
=
1
x
i
）．
组卷：504引用：7难度：0.4
解析
22．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；
步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；
步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕．
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓．
若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，AB=4，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点T重合，折痕与直线TA交于点P，P的轨迹为曲线C．
（1）以AB所在直线为x轴建立适当的坐标系，求C的方程；
（2）设AB的中点为O，若存在一个定圆O，使得当C的弦PQ与圆O相切时，C上存在异于P，Q的点M，N使得PM∥QN，且直线PM，QN均与圆O相切．
（i）求证：OP⊥OQ；
（ii）求四边形PQNM面积的取值范围．
组卷：54引用：4难度：0.3
解析