2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．若集合A={x|x=4k-1，k∈N}，B={x|（x+1）（x-9）≤0}，则A∩B的元素个数为（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  组卷：54引用：3难度：0.7

  解析

• 2．设a∈R，若复数

  1

  -

  i

  2023

  ai

  的虚部为3（其中i为虚数单位），则a=（　　）

  A． - 1 3

  B．-3

  C． 1 3

  D．3
  组卷：122引用：8难度：0.8

  解析

• 3．已知非零向量

  a

  ，

  b

  满足

  b

  =（

  3

  ，1），＜

  a

  ，

  b

  ＞=

  π

  3

  ，若（

  a

  -

  b

  ）⊥

  a

  ，则向量

  a

  在向量

  b

  方向上的投影向量为（　　）

  A． 1 4 b

  B． 1 2 b

  C． 3 2 b

  D． b
  组卷：508引用：7难度：0.7

  解析

• 4．设抛物线C：x²=2py的焦点为F，M（x,4）在C上，|MF|=5，则C的方程为（　　）

  A．x2=4y

  B．x2=-4y

  C．x2=-2y

  D．x2=2y
  组卷：341引用：6难度：0.9

  解析

• 5．若函数f（x）=e^x-a+1-x在区间（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

  A．（-∞，-1]

  B．（-∞，1）

  C．[0，+∞）

  D．（-∞，1]
  组卷：88引用：2难度：0.6

  解析

• 6．直线l：y=kx+1与圆O：x²+y²=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为

  1

  2

  ”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分又不必要条件
  组卷：194引用：6难度：0.9

  解析

• 7．已知

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，且

  2

  cos

  2

  α

  =

  sin

  （

  α

  +

  π

  4

  ）

  ，则sin2α=（　　）

  A． - 3 4

  B． 3 4

  C．-1

  D．1
  组卷：597引用：8难度：0.8

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  6

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  b

  ＞

  0

  ）

  的左右焦点分别为F₁，F₂，C是椭圆的中心，点M为其上的一点满足|MF₁|•|MF₂|=5，|MC|=2．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）设定点T（t,0），过点T的直线l交椭圆C于P，Q两点，若在C上存在一点A，使得直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值，求t的范围．
  组卷：181引用：4难度：0.2

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  alnx

  +

  1

  2

  x

  2

  -

  （

  a

  +

  1

  ）

  x

  +

  3

  2

  （

  a

  ≠

  0

  ）

  ．
  （1）求函数f（x）的单调区间；
  （2）当a=1时，若f（x₁）+f（x₂）=0，求证：x₁+x₂≥2；
  （3）求证：对于任意n∈N^*都有

  2

  ln

  （

  n

  +

  1

  ）

  +

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  i

  -

  1

  i

  ）

  2

  ＞

  n

  ．
  组卷：673引用：12难度：0.1

  解析