2021-2022学年吉林省长春第二实验中学高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知f（x）=x²，则f'（1）=（　　）

  A．1

  B．-1

  C．2

  D．-2
  组卷：63引用：5难度：0.8

  解析

• 2．从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（　　）

  A．10

  B．60

  C．243

  D．15
  组卷：400引用：5难度：0.9

  解析

• 3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为

  ˆ

  y

  =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（　　）

  A．若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg

  B．回归直线过样本点的中心（ x ， y ）

  C．若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

  D．y与x具有正的线性相关关系
  组卷：855引用：174难度：0.5

  解析

• 4．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（90，σ²）（σ＞0），若ξ在（60，120）内的概率为0.8，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于60的概率为（　　）

  A．0.18

  B．0.24

  C．0.36

  D．0.48
  组卷：3引用：1难度：0.8

  解析

• 5．（1+x²）（1+2x）⁴的展开式中x³的系数为（　　）

  A．24

  B．32

  C．40

  D．16
  组卷：7引用：1难度：0.7

  解析

• 6．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙罐中有5个红球，2个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A₁，A₂和A₃表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（　　）
  ①事件A₁与A₂相互独立；②A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件；③P（B|A₂）=

  5

  11

  ；④P（B）=

  27

  55

  ；⑤P（A₁|B）=

  4

  9

  ；

  A．5

  B．4

  C．3

  D．2
  组卷：26引用：1难度：0.6

  解析

• 7．若函数g（x）=e^xf（x）（e=2.718…，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数具有M性质的为（　　）

  A．f（x）=sinx

  B．f（x）=3-x

  C．f（x）=x3

  D．f（x）=x2+2
  组卷：7引用：1难度：0.6

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四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18—22题，每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．2020年受疫情影响，我国企业曾一度停工停产，中央和地方政府纷纷出台各项政策支持企业复工复产，以减轻企业负担．为了深入研究疫情对我国企业生产经营的影响，帮扶困难职工，在甲、乙两行业里随机抽取了200名工人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪在2000元到8000元之间，具体统计数据见表．
  

  月薪/元	[2000，3000）	[3000，4000）	[4000，5000）	[5000，6000）	[6000，7000）	[7000，8000）
  人数	10	26	34	50	60	20

  将月薪不低于6000元的工人视为“Ⅰ类收入群体”，低于6000元的工人视为“Ⅱ类收入群体”，并将频率视为概率．
  （1）根据所给数据完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析两类收入群体与行业是否有关．
  

  	Ⅰ类收入群体	Ⅱ类收入群体	总计
  甲行业		50
  乙行业	30
  总计

  附：

  χ

  2

  =

  n

  （

  ad

  -

  bc

  ）

  2

  （

  a

  +

  b

  ）

  （

  c

  +

  d

  ）

  （

  a

  +

  c

  ）

  （

  b

  +

  d

  ）

  ，其中n=a+b+c+d.
  

  α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
  xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

  （2）经统计发现该地区工人的月薪X（单位：元）近似地服从正态分布N（μ，800²），其中μ近似为样本的平均数

  x

  （每组数据取区间的中点值）．若X落在区间（μ-3σ，μ+3σ）外的左侧，则可认为该工人“生活困难”，政府将联系本人，咨询月薪过低的原因，并提供帮助．已知工人小李参与了本次调查，其月薪为3000元．
  ①试判断小李是否属于“生活困难”的工人；
  ②某超市对调查的工人举行了购物券赠送活动，赠送方式为：月薪低于μ的获得两次赠送，月薪不低于μ的获得一次赠送．每次赠送金额及对应的概率如下：
  

  赠送金额/元	50	100	150
  概率	1 5	3 5	1 5

  求小李获得的赠送总金额的数学期望．
  组卷：1引用：1难度：0.6

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• 22．设函数f（x）=e^x-2ax-1，g（x）=x+1．
  （1）讨论f（x）的单调性；
  （2）若

  a

  =

  1

  2

  ，且不等式（x-k）f′（x）+g（x）＞0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求整数k的最大值．
  组卷：56引用：3难度：0.3

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