2022-2023学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（五）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知a∈R，若复数z=（a²-1）+（a+1）i为纯虚数，则复数

  2

  +

  i

  a

  -

  i

  在复平面内对应的点所在的象限为（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：25引用：4难度：0.7

  解析

• 2．设x∈R，向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  ,

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  4

  ，

  x

  ）

  ．则“

  a

  ⊥

  b

  ”是“

  b

  ∥

  c

  ”的（　　）

  A．充分不必要文件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：138引用：6难度：0.7

  解析

• 3．如图所示，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x∈R，A={x|0＜log₄x＜2}，B={x|e^x-3≤1}，则A#B为（　　）

  A．（-∞，0]∪（3，16）	B．（-∞，1]∪（3，16）
  C．（-∞，1）∪[3，16）	D．（1，3]
  组卷：7引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知角α的终边上有一点P（-2，-1），则

  2

  cos

  （

  2

  α

  +

  π

  4

  ）

  的值为（　　）

  A． 1 3

  B． 7 5

  C． - 1 5

  D． 1 5
  组卷：206引用：5难度：0.7

  解析

• 5．甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（　　）

  A．甲更合算	B．乙更合算
  C．甲乙同样合算	D．无法判断谁更合算
  组卷：23引用：4难度：0.9

  解析

• 6．为参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，某班从班级初选的甲乙2名男生和6名女生共8名同学中随机选取5名组成班级代表队参加比赛，则代表队中既有男生又有女生的条件下，男生甲被选中的概率为（　　）

  A． 15 56

  B． 5 7

  C． 1 2

  D． 7 10
  组卷：31引用：2难度：0.7

  解析

• 7．若直线

  y

  =

  a

  2

  与函数y=|a^x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值不可以是（　　）

  A． 3 8

  B． 3 4

  C． 3 2

  D．3
  组卷：90引用：2难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  1

  2

  ，且点

  M

  （

  1

  ，

  3

  2

  ）

  在椭圆上．
  （1）求椭圆的方程；
  （2）过椭圆右焦点F₂作两条互相垂直的弦AB与CD，求|AB|+|CD|的取值范围．
  组卷：214引用：5难度：0.3

  解析

• 22．设函数f（x）=x²-ax-a²lnx.（a∈R）
  （1）当a=2时，讨论函数y=f（x）的单调性；
  （2）曲线y=f（x）与直线y=m交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，求证：

  f

  ′

  （

  x

  1

  +

  x

  2

  2

  ）

  ＞

  0

  ；
  （3）证明：

  1

  3

  +

  1

  5

  +

  …

  +

  1

  2

  n

  -

  1

  ＜

  1

  2

  lnn

  （

  n

  ≥

  2

  ，

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ．
  组卷：154引用：3难度：0.2

  解析