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2023-2024学年湖南省长沙市天心区明德中学高三（上）入学数学试卷

发布：2024/7/19 8:0:9

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题4个选项中只有一个正确答案.

1．复数z=
1
1
+
i
（l为虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：67引用：3难度：0.7
解析
2．已知集合A={x|4^x-2^x+1＜0}，B={x|y=lg（x+1）}，则A∩（∁_RB）=（　　）
A．（-∞，-1] B．（-∞，1） C．（-1，1） D．（0，1）
组卷：23引用：3难度：0.8
解析
3．在△ABC中，
AD
=
2
DB
，点P在CD上，且
AP
=
m
AC
+
1
3
AB
（
m
∈
R
）
，则m=（　　）
A．
1
5
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
组卷：307引用：4难度：0.8
解析
4．已知函数f（x）同时满足性质：①f（-x）=f（x）；②当∀x₁，x₂∈（0，1）时，
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
x
1
-
x
2
＜
0
，则函数f（x）可能为（　　）
A．f（x）=x² B．
f
（
x
）
=
（
1
2
）
x
C．f（x）=cos4x D．f（x）=ln（1-|x|）
组卷：382引用：4难度：0.7
解析
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为（　　）
A．
[
0
，
12
5
）
B．
（
0
，
12
5
]
C．
[
-
12
5
，
12
5
]
D．
[
0
，
12
5
]
组卷：415引用：7难度：0.8
解析
6．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=a_n+2，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1-b_n=a_n+1，则
b
n
+
8
n
的最小值为（　　）
A．
13
3
B．5 C．
4
2
D．
17
3
组卷：302引用：7难度：0.5
解析
7．已知点P为双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的渐近线和抛物线y²=4x的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（　　）
A．
2
B．
2
3
3
C．
3
D．2
组卷：89引用：2难度：0.6
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

21．已知M，N分别为椭圆
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左，右顶点，F为其右焦点，|FM|=3|FN|，且点
P
（
1
，
3
2
）
在椭圆E上．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：
12
|
AB
|
+
|
CD
|
2
4
为定值．
组卷：147引用：5难度：0.6
解析
22．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为
2
3
，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为
1
4
，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为
1
2
，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为P_n．
（ⅰ）证明：
{
P
n
-
2
5
}
为等比数列；
（ⅱ）证明：当n≥2时，P_n≤
5
12
．
组卷：770引用：3难度：0.4
解析

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A．f（x）=x²	B． f （ x ） = （ 1 2 ） x
C．f（x）=cos4x	D．f（x）=ln（1-\|x\|）

2023-2024学年湖南省长沙市天心区明德中学高三（上）入学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题4个选项中只有一个正确答案.

1．复数z=11+i（l为虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（ ）

2．已知集合A={x|4x-2x+1＜0}，B={x|y=lg（x+1）}，则A∩（∁RB）=（ ）

3．在△ABC中，AD=2DB，点P在CD上，且AP=mAC+13AB（m∈R），则m=（ ）

4．已知函数f（x）同时满足性质：①f（-x）=f（x）；②当∀x1，x2∈（0，1）时，f（x1）-f（x2）x1-x2＜0，则函数f（x）可能为（ ）

5．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）

6．已知数列{an}满足a1=1，且an+1=an+2，数列{bn}满足b1=1，bn+1-bn=an+1，则bn+8n的最小值为（ ）

7．已知点P为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线和抛物线y2=4x的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（ ）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

1．复数z=
1
1
+
i
（l为虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（　　）

2．已知集合A={x|4^x-2^x+1＜0}，B={x|y=lg（x+1）}，则A∩（∁_RB）=（　　）

3．在△ABC中，
AD
=
2
DB
，点P在CD上，且
AP
=
m
AC
+
1
3
AB
（
m
∈
R
）
，则m=（　　）

4．已知函数f（x）同时满足性质：①f（-x）=f（x）；②当∀x₁，x₂∈（0，1）时，
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
x
1
-
x
2
＜
0
，则函数f（x）可能为（　　）

5．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为（　　）

6．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=a_n+2，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1-b_n=a_n+1，则
b
n
+
8
n
的最小值为（　　）

7．已知点P为双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的渐近线和抛物线y²=4x的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（　　）