2015-2016学年上海市长宁区延安中学高三（下）开学数学试卷

一.填空题

• 1．计算：

  lim

  n

  →∞

  4

  -

  3

  n

  2

  n

  +

  1

  =

  ．
  组卷：23引用：1难度：0.9

  解析

• 2．已知函数y=

  16

  -

  x

  2

  lo

  g

  2

  （

  |

  x

  |

  +

  x

  ）

  ，则它的定义域是

   

  ．
  组卷：25引用：1难度：0.9

  解析

• 3．已知tanθ=2，则sin2θ+sec²θ的值为

   

  ．
  组卷：18引用：1难度：0.9

  解析

• 4．复数z满足

  1

  +

  z

  1

  -

  z

  =i,则|z|=

  ．
  组卷：235引用：10难度：0.7

  解析

• 5．若函数f（x）=8^x的图象经过点

  （

  1

  3

  ，

  a

  ）

  ，则f^-1（a+2）=

  ．
  组卷：30引用：3难度：0.7

  解析

• 6．已知（

  x

  -

  a

  x

  ）⁵的展开式中含

  x

  3

  2

  的项的系数为30，则实数a=

  ．
  组卷：122引用：4难度：0.7

  解析

• 7．不等式

  ax	1
  1	x + 1

  ＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：25引用：4难度：0.5

  解析

三、解答题：

• 22．给定椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为

  a

  2

  +

  b

  2

  的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为

  F

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，其短轴上的一个端点到F的距离为

  3

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
  （Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，且l₁，l₂分别交其“准圆”于点M，N．
  ①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l₁，l₂的方程；
  ②求证：|MN|为定值．
  组卷：1566引用：20难度：0.1

  解析

• 23．已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令

  b

  n

  =

  1

  a

  n

  •

  a

  n

  +

  1

  ．
  （Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
  （Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求证：

  T

  n

  =

  b

  1

  f

  （

  1

  ）

  +

  b

  2

  f

  （

  2

  ）

  +

  …

  +

  b

  n

  f

  （

  n

  ）

  ＜

  1

  6

  （n≥1）；
  （Ⅲ）令

  T

  n

  =

  1

  2

  （

  b

  1

  a

  +

  b

  2

  a

  2

  +

  b

  3

  a

  3

  +

  …

  +

  b

  n

  a

  n

  ）

  （a＞0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n,都有

  T

  n

  ＜

  1

  6

  ；②对于任意的

  m

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  6

  ）

  ，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀时，T_n＞m.
  组卷：193引用：6难度：0.1

  解析