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2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）月考数学试卷（9月份）

发布：2024/9/6 15:0:11

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1．已知直线a,b的方向向量分别为
a
=
（
1
，
0
，-
1
）
，
b
=
（
1
，-
1
，
0
）
，且直线a,b均平行于平面α，平面α的单位法向量为（　　）
A．
（
3
3
，
3
3
，
3
3
）
B．
（
-
3
3
，-
3
3
，-
3
3
）
C．（1，1，1）
D．
（
3
3
，
3
3
，
3
3
）
或
（
-
3
3
，-
3
3
，-
3
3
）
组卷：51引用：4难度：0.7
解析
2．已知点A（2，3，5），B（2，-1，-1）是空间直角坐标系O-xyz中的两点，点B关于xOy平面对称的点为B′，线段AB′的中点与点B的距离为（　　）
A．
2
5
B．
22
C．
3
2
D．
17
组卷：19引用：2难度：0.7
解析
3．已知
{
a
，
b
，
c
}
是空间的一组单位正交基底，若向量
p
在基底
{
a
，
b
，
c
}
下用有序实数组表示为（3，2，1），则与向量
p
同向的单位向量在基底
{
a
，
b
+
c
，
b
-
c
}
下用有序实数组表示为（　　）
A．
（
3
46
23
，
3
46
46
，
46
46
）
B．
（
3
14
14
，
14
7
，
14
14
）
C．
（
3
14
14
，
3
14
28
，
14
28
）
D．
（
-
3
14
14
，-
3
14
28
，-
14
28
）
组卷：44引用：2难度：0.6
解析
4．如图，在正方体ABEFDCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（　　）
A．-
1
3
B．
1
3
C．-
2
2
3
D．
2
2
3
组卷：122引用：4难度：0.5
解析
5．若
OA
=
（
0
，
0
，
1
）
，
OB
=
（
2
，-
1
，
2
）
，
OC
=
（
1
，
2
，
3
）
，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）
A．
5
6
B．
5
2
C．
5
3
D．
5
组卷：25引用：2难度：0.6
解析
6．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P为线段BC₁上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（　　）
A．1 B．
2
2
C．
2
3
3
D．
6
4
组卷：358引用：5难度：0.6
解析
7．两条异面直线a,b所成的角为60°，在直线a,b上分别取点A，E和点B，F，使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6，BF=8，EF=14，则线段AB的长为（　　）
A．20或12 B．12或
4
3
C．
4
3
或
8
3
D．
8
3
或20
组卷：140引用：5难度：0.6
解析

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四、解答题（本大题共6小题，共70分）

21．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，E，F分别是棱AA₁，BB₁上的点，
A
1
E
=
BF
=
1
3
A
A
1
．
（1）证明：平面CEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直线AC₁与平面CFC₁夹角余弦值．
组卷：41引用：2难度：0.5
解析
22．如图，在八面体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD∥平面QBC，二面角P-AB-C与二面角Q-CD-A的大小都是30°，
AP
=
CQ
=
3
，PD⊥AB．
（1）证明：平面PCD∥平面QAB；
（2）设G为△QBC的重心，是否在棱PA上存在点S，使得SG与平面ABCD所成角的正弦值为
30
20
，若存在，求S到平面ABCD的距离，若不存在，说明理由．
组卷：139引用：6难度：0.5
解析

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2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）月考数学试卷（9月份）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1．已知直线a,b的方向向量分别为a=（1，0，-1），b=（1，-1，0），且直线a,b均平行于平面α，平面α的单位法向量为（ ）

2．已知点A（2，3，5），B（2，-1，-1）是空间直角坐标系O-xyz中的两点，点B关于xOy平面对称的点为B′，线段AB′的中点与点B的距离为（ ）

3．已知{a，b，c}是空间的一组单位正交基底，若向量p在基底{a，b，c}下用有序实数组表示为（3，2，1），则与向量p同向的单位向量在基底{a，b+c，b-c}下用有序实数组表示为（ ）

4．如图，在正方体ABEFDCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（ ）

5．若OA=（0，0，1），OB=（2，-1，2），OC=（1，2，3），则三棱锥O-ABC的体积为（ ）

6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（ ）

7．两条异面直线a,b所成的角为60°，在直线a,b上分别取点A，E和点B，F，使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6，BF=8，EF=14，则线段AB的长为（ ）

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

21．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E=BF=13AA1．（1）证明：平面CEF⊥平面ACC1A1；（2）求直线AC1与平面CFC1夹角余弦值．

1．已知直线a,b的方向向量分别为
a
=
（
1
，
0
，-
1
）
，
b
=
（
1
，-
1
，
0
）
，且直线a,b均平行于平面α，平面α的单位法向量为（　　）

2．已知点A（2，3，5），B（2，-1，-1）是空间直角坐标系O-xyz中的两点，点B关于xOy平面对称的点为B′，线段AB′的中点与点B的距离为（　　）

3．已知
{
a
，
b
，
c
}
是空间的一组单位正交基底，若向量
p
在基底
{
a
，
b
，
c
}
下用有序实数组表示为（3，2，1），则与向量
p
同向的单位向量在基底
{
a
，
b
+
c
，
b
-
c
}
下用有序实数组表示为（　　）

4．如图，在正方体ABEFDCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（　　）

5．若
OA
=
（
0
，
0
，
1
）
，
OB
=
（
2
，-
1
，
2
）
，
OC
=
（
1
，
2
，
3
）
，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）

6．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P为线段BC₁上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（　　）

7．两条异面直线a,b所成的角为60°，在直线a,b上分别取点A，E和点B，F，使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6，BF=8，EF=14，则线段AB的长为（　　）

21．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，E，F分别是棱AA₁，BB₁上的点，
A
1
E
=
BF
=
1
3
A
A
1
．
（1）证明：平面CEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直线AC₁与平面CFC₁夹角余弦值．