2022-2023学年上海市杨浦区同济大学一附中高三（下）月考数学试卷（3月份）

一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7~12题每题5分）

• 1．函数f（x）=

  1

  -

  2

  x

  的定义域为

  ．
  组卷：130引用：3难度：0.7

  解析

• 2．已知复数

  z

  =

  1

  +

  3

  i

  i

  （i是虚数单位），则复数z的虚部为

  ．
  组卷：26引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知实数

  k

  ∈

  {

  -

  2

  ，-

  1

  ，-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ，

  1

  ，

  2

  ，

  3

  }

  ，若幂函数f（x）=x^k为偶函数，且在（0，+∞）上严格递减，则实数k=

  ．
  组卷：71引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为

   

  ．
  组卷：222引用：4难度：0.9

  解析

• 5．在等比数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₅=2S₄+3，a₆=2S₅+3，则此数列的公比q为

  ．
  组卷：125引用：11难度：0.7

  解析

• 6．已知

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  3

  ，

  2

  ）

  ，则

  a

  在

  b

  上的数量投影为

  ．
  组卷：87引用：4难度：0.7

  解析

• 7．已知F是抛物线y²=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为

  ．
  组卷：355引用：6难度：0.6

  解析

三、解答题（共5小题，满分76分）

• 20．已知椭圆Ω：9x²+y²=m²（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与Ω有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
  （1）若m=3，点K在椭圆Ω上，F₁，F₂分别为椭圆的两个焦点，求

  K

  F

  1

  •

  K

  F

  2

  的范围；
  （2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
  （3）若l过点（

  m

  3

  ，

  m

  ），射线OM与Ω交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
  组卷：430引用：4难度：0.3

  解析

• 21．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  aln

  （

  x

  -

  a

  ）

  -

  1

  2

  x

  2

  +

  x

  ．
  （1）当a=0时，求函数f（x）过点（2，f（2））的切线方程；
  （2）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x₀，且a+1＜x₀＜a+2；
  （3）当

  a

  =

  -

  4

  5

  时，记函数f（x）的零点为x₀，若对任意x₁，x₂∈[0，x₀]且x₂-x₁=1，都有|f（x₂）-f（x₁）|≥m,求实数m的最大值．
  组卷：75引用：2难度：0.3

  解析