2023-2024学年江苏省南京第五高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.）

• 1．双曲线

  x

  2

  4

  -y²=1的顶点到其渐近线的距离等于（　　）

  A． 2 5 5

  B．1

  C． 4 5 5

  D．2
  组卷：184引用：8难度：0.9

  解析

• 2．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”．现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4km,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的

  3

  倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积（单位：km²）是（　　）

  A． 2 3

  B． 4 3

  C． 3 6

  D． 4 6
  组卷：77引用：3难度：0.5

  解析

• 3．若抛物线x²=12y的焦点与双曲线

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  5

  =1的一个焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

  A．y=± 5 2 x

  B．y=± 5 4 x

  C．y=± 2 5 5 x

  D．y=± 4 5 x
  组卷：155引用：6难度：0.7

  解析

• 4．抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F与x轴垂直的直线交C于点M，N，有下列四个命题：
  甲：点F坐标为（1，0）；
  乙：抛物线C的准线方程为x=-2；
  丙：线段MN长为4；
  丁：直线y=x+1与抛物线C相切．
  如果只有一个命题是假命题，则该命题是（　　）

  A．甲

  B．乙

  C．丙

  D．丁
  组卷：102引用：4难度：0.7

  解析

• 5．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m,已知行车道总宽度AB=6m,那么车辆通过隧道的限制高度为（　　）

  A．2.25m

  B．2.5m

  C．3.25m

  D．3.5m
  组卷：88引用：2难度：0.5

  解析

• 6．已知F₁，F₂是椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则

  5

  a

  2

  +

  2

  e

  2

  3

  b

  （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（　　）

  A． 5 3 3

  B． 5 2 3

  C． 5

  D． 2 5 3
  组卷：384引用：2难度：0.5

  解析

• 7．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e,则e²=（　　）
  

  A． 1 9

  B．7-2 3

  C．3-2 2

  D．3 3 -5
  组卷：284引用：18难度：0.6

  解析

四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分。）

• 21．给定椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，称圆心在原点O、半径是

  a

  2

  +

  b

  2

  的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为

  F

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，其短轴的一个端点到点F的距离为

  3

  ．
  （1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
  （2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求

  AB

  •

  AD

  的取值范围．
  组卷：83引用：5难度：0.5

  解析

• 22．已知两圆

  C

  1

  ：

  （

  x

  -

  2

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  18

  ，

  C

  2

  ：

  （

  x

  +

  2

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  2

  ，动圆M在圆C₁内部且和圆C₁内切，和圆C₂外切．
  （1）求动圆圆心M的轨迹方程C；
  （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程C恒有两个交点M、N，且满足OM⊥ON？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．
  组卷：107引用：4难度：0.4

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