苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》2023年单元测试卷（3）

一、选择题

• 1．设P为椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）上一点，两焦点分别为F₁，F₂，如果∠PF₁F₂=75°，∠PF₂F₁=15°，则椭圆的离心率为（　　）

  A． 6 3

  B． 3 3

  C． 6 2

  D． 3 2
  组卷：206引用：9难度：0.7

  解析

• 2．已知F₁，F₂是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF₁|＞|PF₂|，线段PF₁的垂直平分线过F₂，若椭圆的离心率为e₁，双曲线的离心率为e₂，则

  2

  e

  1

  +

  e

  2

  2

  的最小值为（　　）

  A． 6

  B．3

  C．6

  D． 3
  组卷：886引用：35难度：0.7

  解析

• 3．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线．已知F₁，F₂是一对相关曲线的焦点，P是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以F₁F₂为直径的圆的位置关系是（　　）

  A．在圆外

  B．在圆上

  C．在圆内

  D．不确定
  组卷：51引用：4难度：0.6

  解析

• 4．存在过椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  左焦点F₁的弦MN，使得

  |

  MN

  |

  =

  a

  2

  ，则椭圆C的离心率的最小值是（　　）

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 3

  D． 3 2
  组卷：24引用：2难度：0.5

  解析

• 5．设椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上一点，|PF₁|=λ|PF₂|（

  1

  2

  ≤λ≤2），∠F₁PF₂=

  π

  2

  ，则椭圆离心率的取值范围为（　　）

  A．（0， 2 2 ]

  B．[ 2 2 ， 5 3 ]

  C．[ 2 3 ， 5 3 ]

  D．[ 5 3 ，1）
  组卷：88引用：11难度：0.7

  解析

三、解答题

• 14．已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）²+y²=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
  （1）求点E的轨迹方程；
  （2）若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
  组卷：73引用：8难度：0.3

  解析

• 15．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  与抛物线M：y²=4x有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）过椭圆C的右焦点作一条斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点E，P为弦AB的中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q，问是否存在一定点H，使得QH的长度为定值？若存在，则求出点H，若不存在，请说明理由．
  组卷：251引用：5难度：0.5

  解析