2022-2023学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．下列判断正确的是（　　）

  A．圆锥的侧面展开图可以是一个圆面

  B．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

  C．一个西瓜切3刀最多可切成8块

  D．过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个
  组卷：105引用：4难度：0.7

  解析

• 2．已知复数z=

  -

  1

  -

  2

  i

  （

  1

  +

  i

  ）

  2

  ，则z=（　　）

  A．- 3 4 + 1 4 i

  B．- 1 4 + 3 4 i

  C．-1+ 1 2 i

  D．-1- 1 2 i
  组卷：33引用：1难度：0.9

  解析

• 3．等边三角形ABC的边长为1，

  BC

  =

  a

  ，

  CA

  =

  b

  ，

  AB

  =

  c

  ，那么

  a

  •

  b

  +

  b

  •

  c

  +

  c

  •

  a

  等于（　　）

  A．3

  B．-3

  C． 3 2

  D． - 3 2
  组卷：323引用：24难度：0.9

  解析

• 4．在△ABC中，a=3，b=

  7

  ，c=2，那么B等于（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．120°
  组卷：723引用：50难度：0.9

  解析

• 5．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2

  AO

  =

  AB

  +

  AC

  ，|

  AO

  |=|

  AB

  |，则向量

  BA

  在向量

  BC

  上的投影向量为（　　）

  A． 1 4 BC

  B． 3 4 BC

  C．- 1 4 BC

  D．- 3 4 BC
  组卷：339引用：16难度：0.7

  解析

• 6．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为

  3

  ，则

  a

  +

  b

  +

  c

  sin

  A

  +

  sin

  B

  +

  sin

  C

  等于（　　）

  A． 3 3

  B． 2 39 3

  C． 8 3 3

  D． 39 2
  组卷：314引用：9难度：0.7

  解析

• 7．已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=

  3

  AB，若四面体P-ABC的体积为

  3

  2

  ，求球的表面积（　　）

  A．8π

  B．12π

  C．8 3 π

  D．12 3 π
  组卷：273引用：8难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．重庆、武汉、南京并称为主大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首．某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O（如图）．为吸引游客，准备在门前两条夹角为

  π

  6

  （即∠AOB）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰激凌”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长|AB|=2

  3

  且点A，B落在小路上，记弓形花园的顶点为M，∠MAB=∠MBA=

  π

  6

  ，设∠OBA=θ．
  
  （1）将OA，OB用含有θ的关系式表示出来；
  （2）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA，OB长度），才使得喷泉M与山庄O距离即|OM|值最大？
  组卷：550引用：5难度：0.3

  解析

• 22．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；
  如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ．
  （1）当α、

  β

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  时，证明以上三面角余弦定理；
  （2）如图2，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°，∠BAC=45°，
  ①求∠A₁AB的余弦值；
  ②在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
  
  组卷：417引用：12难度：0.4

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