2023-2024学年四川省成都市蒲江中学高一（上）入学数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（　　）

  A．2.03×109年	B．20.3×109年
  C．2.03×1010年	D．2.03×108年
  组卷：4引用：1难度：0.7

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• 2．下列运算正确的是（　　）

  A．（-2a）2=-4a2	B．（a-b）2=a2-b2
  C．（a5）2=a7	D．（-m+2）（-m-2）=m2-4
  组卷：54引用：1难度：0.8

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• 3．下列说法正确的是（　　）

  A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2=4，S乙2=14，则乙的成绩更稳定

  B．某奖券的中奖率为 1 100 ，买100张奖券，一定会中奖1次

  C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查

  D．x=3是不等式2（x-1）＞3的一个解，这是一个必然事件
  组卷：12引用：1难度：0.7

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• 4．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（　　）​

  A．15

  B．18

  C．24

  D．36
  组卷：21引用：1难度：0.6

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• 5．根据关于x的一元二次方程x²+px+q=0，可列表如下：则方程x²+px+q=0的正数解满足（　　）
  

  x	2.5	3	3.1	3.2	3.3	3.4
  x2+px+q	-2.75	-1	-0.59	-0.16	0.29	0.76

  A．解的整数部分是3，十分位是1

  B．解的整数部分是3，十分位是2

  C．解的整数部分是3，十分位是3

  D．解的整数部分是3，十分位是4
  组卷：15引用：1难度：0.7

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• 6．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）ⁿ展开式的系数规律．
  1 （a+b）⁰=1
  11 （a+b）¹=a+b
  1    2    1 （a+b）²=a²+2ab+b²
  1    3    3    1 （a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
  当代数式x⁴-12x³+54x²-108x+81的值为1时，则x的值为（　　）

  A．2或4

  B．2或-4

  C．2

  D．-4
  组卷：81引用：1难度：0.8

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• 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OC，若∠ABC=∠AOC，则∠ABC的度数为（　　）

  A．100°

  B．110°

  C．120°

  D．140°
  组卷：5引用：2难度：0.8

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出演算步骤．

• 21．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
  

  2．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE=DF． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD． ∴∠BCE+∠DCE=90°． ∵CE⊥DF，∴∠COD=90°． ∴∠CDF+∠DCE=90°．∴∠CDF=∠BCE． ∴△CBE≌△DFC．∴CE=DF．

  某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
  （1）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想

  EG

  FH

  的值，并证明你的猜想．
  （2）【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则

  EG

  FH

  =_____．
  （3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求

  CE

  BF

  的值．
  
  组卷：27引用：1难度：0.5

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• 22．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，

  1

  4

  a

  ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y=-

  1

  4

  a

  上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=-

  1

  4

  a

  叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=

  1

  2

  a

  ，例如，抛物线y=

  1

  2

  x²，其焦点坐标为F（0，

  1

  2

  ），准线方程为l：y=-

  1

  2

  ．其中MF=MN，FH=2OH=1．
  
  （1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=2x²的焦点坐标和准线l的方程；
  （2）【技能训练】如图2所示，已知抛物线y=

  1

  8

  x²上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
  （3）【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC=2BF，AF=4，求a的值；
  （4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：

  AC

  AB

  =

  BC

  AC

  =

  5

  -

  1

  2

  ．后人把

  5

  -

  1

  2

  这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
  如图4所示，抛物线y=

  1

  4

  x²的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，-1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当

  MH

  MF

  =

  2

  时，求出△HME的面积值．
  组卷：38引用：1难度：0.5

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