某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，

1

4

a

）的距离MF，始终等于它到定直线l：y=-

1

4

a

上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=-

1

4

a

叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=

1

2

a

，例如，抛物线y=

1

2

x²，其焦点坐标为F（0，

1

2

），准线方程为l：y=-

1

2

．其中MF=MN，FH=2OH=1．

（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=2x²的焦点坐标和准线l的方程；
（2）【技能训练】如图2所示，已知抛物线y=

1

8

x²上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC=2BF，AF=4，求a的值；
（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：

AC

AB

=

BC

AC

=

5

-

1

2

．后人把

5

-

1

2

这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y=

1

4

x²的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，-1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当

MH

MF

=

2

时，求出△HME的面积值．