2023-2024学年北京市牛栏山一中高三（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）

• 1．设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x²+x-6=0}，则图中阴影表示的集合为（　　）

  A．{2}

  B．{3}

  C．{-3，2}

  D．{-2，3}
  组卷：205引用：36难度：0.9

  解析

• 2．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（　　）

  A．￢p：∀x∈R，sinx≥1	B．￢p：∀x∈R，sinx＞1
  C．￢p：∃x0∈R，sinx0≥1	D．￢p：∃x0∈R，sinx0＞1
  组卷：822引用：22难度：0.9

  解析

• 3．设p=

  2

  1

  2

  ，q=

  3

  1

  3

  ，r=log₃2，则（　　）

  A．q＜p＜r

  B．p＜q＜r

  C．r＜q＜p

  D．r＜p＜q
  组卷：31引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知a,b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（　　）

  A．a＞b-1

  B．a＞b+1

  C．|a|＞|b|

  D．2a＞2b
  组卷：225引用：31难度：0.9

  解析

• 5．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克-牛顿于1664年1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在

  （

  x

  2

  +

  1

  2

  x

  ）

  5

  的二项式展开式中，x的系数为（　　）

  A．10

  B． 5 2

  C． 5 4

  D． 5 8
  组卷：206引用：5难度：0.7

  解析

• 6．利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有（　　）个．
  （1）y=x+

  4

  x

  ≥

  2

  x

  •

  4

  x

  =4
  （2）y=sinx+

  3

  sinx

  ≥

  2

  sinx

  •

  3

  sinx

  =2

  3

  （x∈（0，

  π

  2

  ）
  （3）y=lgx+4log_x10≥2

  lgx

  •

  4

  lo

  g

  x

  10

  =4
  （4）y=3^x+

  4

  3

  x

  ≥

  2

  3

  x

  •

  4

  3

  x

  =4

  A．0个

  B．1个

  C．2个

  D．3个
  组卷：63引用：1难度：0.6

  解析

• 7．某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：130引用：12难度：0.7

  解析

三、解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

• 20．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦点为F（1，0），离心率为

  2

  2

  ．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
  （Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．
  组卷：560引用：7难度：0.6

  解析

• 21．有限个元素组成的集合A={a₁，a₂，…，a_n}，n∈N^*，记集合A中的元素个数为card（A），即card（A）=n.定义A+A={x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A）=

  n

  （

  n

  +

  1

  ）

  2

  时，称集合A具有性质P．
  （Ⅰ）A={1，4，7}，B={2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；
  （Ⅱ）设集合A={a₁，a₂，a₃，2020}．a₁＜a₂＜a₃＜2020，且a_i∈N^*（i=1，2，3），若集合A具有性质P，求a₁+a₂+a₃的最大值；
  （Ⅲ）设集合A={a₁，a₂，…，a_n}，其中数列{a_n}为等比数列，a_i＞0（i=1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．
  组卷：216引用：5难度：0.3

  解析