2023-2024学年北京四中高三（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

• 1．集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁_RB）=（　　）

  A．{x|x＞1}

  B．{x|x≥1}

  C．{x|1＜x≤2}

  D．{x|1≤x≤2}
  组卷：263引用：33难度：0.9

  解析

• 2．在

  （

  x

  -

  2

  ）

  6

  的展开式中，x³的系数为（　　）

  A． - 40 2

  B． 40 2

  C．-40

  D．40
  组卷：655引用：4难度：0.9

  解析

• 3．已知a=4^0.1，b=2^0.6，c=log₄0.6，则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．c＜a＜b

  B．c＜b＜a

  C．a＜b＜c

  D．b＜a＜c
  组卷：553引用：8难度：0.8

  解析

• 4．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（　　）

  A． 8 15

  B． 6 25

  C． 2 15

  D． 4 45
  组卷：109引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设

  f

  （

  2

  ）

  -

  f

  （

  1

  ）

  2

  -

  1

  =a,则下列不等式正确的是（　　）

  A．f′（1）＜f′（2）＜a	B．f′（1）＜a＜f′（2）
  C．f′（2）＜f′（1）＜a	D．a＜f′（1）＜f′（2）
  组卷：1045引用：15难度：0.9

  解析

• 6．给出下面四个命题：
  ①“直线a,b不相交”是“直线a,b为异面直线”的充分而不必要条件；
  ②“l⊥平面α”是“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件；
  ③“a平行于b所在的平面”是“直线a∥直线b”的充要条件；
  ④“直线a平行于α内的一条直线”是“直线a∥平面α”的必要而不充分条件．
  其中正确命题的序号是（　　）

  A．①③

  B．②③

  C．②④

  D．③④
  组卷：31引用：1难度：0.7

  解析

• 7．“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上．“苏州码子”计数方式如下：〡（1）、〢（2）、〣（3）、〤（4）、〥（5）、〦（6）、〧（7）、〨（8）、〩（9）、〇（0）．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑刻着“〩〢”，则从A点到B点里程碑的个数应为（　　）

  A．29

  B．30

  C．58

  D．59
  组卷：110引用：4难度：0.8

  解析

三、解答题（共6小题，共85分）

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|=2，求证：直线l经过定点．
  组卷：7189引用：18难度：0.5

  解析

• 21．正实数构成的集合A={a₁，a₂，⋯，a_n}（n≥2），定义A⊗A={a_i•a_j|a_i，a_j∈A，且i≠j}．当集合A⊗A中的元素恰有

  n

  （

  n

  -

  1

  ）

  2

  个数时，称集合A具有性质Ω．
  （Ⅰ）判断集合A₁={1，2，4}，A₂={1，2，4，8}是否具有性质Ω；
  （Ⅱ）若集合A具有性质Ω，且A中所有元素能构成等比数列，A⊗A中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值；
  （Ⅲ）若集合A具有性质Ω，且A⊗A中的所有元素能构成等比数列．问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
  组卷：64引用：3难度：0.2

  解析