已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|=2，求证：直线l经过定点．
x
2
a
2
y
2
b
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）证明：y=kx+t与椭圆方程x2+2y2=2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
Δ=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-2）＞0，x1+x2=-，x1x2=，
AP的方程为y=x+1，令y=0，可得x=，即M（，0）；
AQ的方程为y=x+1，令y=0，可得x=．即N（，0）．
（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）
=（1+t2-2t）+k2•+（kt-k）•（-）=，
|OM|•|ON|=2，即为|•|=2，
即有|t2-1|=（t-1）2，由t≠±1，解得t=0，满足Δ＞0，
即有直线l方程为y=kx，恒过原点（0，0）．
x
2
2
（Ⅱ）证明：y=kx+t与椭圆方程x2+2y2=2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
Δ=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-2）＞0，x1+x2=-
4
kt
1
+
2
k
2
2
t
2
-
2
1
+
2
k
2
AP的方程为y=
y
1
-
1
x
1
x
1
1
-
y
1
x
1
1
-
y
1
AQ的方程为y=
y
2
-
1
x
2
x
2
1
-
y
2
x
2
1
-
y
2
（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）
=（1+t2-2t）+k2•
2
t
2
-
2
1
+
2
k
2
4
kt
1
+
2
k
2
（
t
-
1
）
2
1
+
2
k
2
|OM|•|ON|=2，即为|
x
1
1
-
y
1
x
2
1
-
y
2
即有|t2-1|=（t-1）2，由t≠±1，解得t=0，满足Δ＞0，
即有直线l方程为y=kx，恒过原点（0，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/31 8:0:9组卷：7184引用：18难度：0.5
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