2021-2022学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷

一、填空题。（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．已知复数a²-4+（a-2）i是纯虚数（ i为虚数单位），则实数a=

  ．
  组卷：10引用：2难度：0.8

  解析

• 2．若

  lim

  n

  →∞

  （

  1

  -

  a

  ）

  n

  =

  0

  ，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：17引用：2难度：0.9

  解析

• 3．函数f（x）=tan（2x-

  π

  6

  ）的最小正周期是

  ．
  组卷：47引用：5难度：0.9

  解析

• 4．若

  2

  ，

  x

  ,

  2

  2

  成等比数列，则x=

  ．
  组卷：148引用：4难度：0.9

  解析

• 5．已知数列{a_n}为等差数列，且

  a

  3

  +

  a

  13

  =

  2

  π

  3

  ，则cos（a₇+a₉）=

  ．
  组卷：52引用：1难度：0.8

  解析

• 6．已知单位向量

  a

  ，

  b

  的夹角为θ，若

  θ

  ∈

  [

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]

  ，则

  |

  a

  +

  b

  |

  的取值范围是

  ．
  组卷：119引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知数列{a_n}满足a₁a₂a₃…a_n=n,则数列{a_n}的通项公式为

  ．
  组卷：33引用：2难度：0.5

  解析

三、解答题。（本大题共5题，满分76分）

• 20．已知函数f（x）对任意实数p、q都满足f（p+q）=f（p）f（q），且f（1）=

  1

  3

  ．
  （1）当n∈N^*时，求f（n）的表达式；
  （2）设a_n=nf（n）（n∈N^*），求数列{a_n}的最大项；
  （3）设b_n=

  nf

  （

  n

  +

  1

  ）

  f

  （

  n

  ）

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ，数列{b_n}的前n项和为T_n，若

  1

  T

  1

  +

  1

  T

  2

  +

  1

  T

  3

  +

  ⋯

  +

  1

  T

  n

  ＜

  m

  -

  2000

  2

  对n∈N^*恒成立，求最小正整数m.
  组卷：49引用：2难度：0.3

  解析

• 21．已知a为实数，数列{a_n}满足：①a₁=a；②a_n+1=

  a n - 3 ， a n ＞ 3

  4 - a n ， a n ≤ 3

  （n∈N*）．
  （1）当a=3时，求a₁+a₂+a₃+a₄的值；
  （2）求证：存在正整数n₀，使得

  0

  ≤

  a

  n

  0

  ≤3；
  （3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求a的取值范围，使数列{a_n}为周期数列且方程S_n=2n（n∈N^*）有解（若数列{a_n}满足：存在T∈N且T＞0，对任意n∈N且n＞0，成立a_n+T=a_n，则称数列{a_n}为以T为周期的周期数列）．
  组卷：38引用：3难度：0.3

  解析