2022-2023学年湖北省荆荆襄宜四地七校考试联盟高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为（　　）

  A．1

  B．2

  C． π 3

  D． π 6
  组卷：192引用：2难度：0.7

  解析

• 2．已知在复平面内，O是原点，向量

  OA

  ，

  OB

  对应的复数分别为3-5i,-2+4i,那么向量

  AB

  对应的复数的虚部是（　　）

  A．9i

  B．-1

  C．-i

  D．9
  组卷：35引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知

  sin

  （

  α

  +

  3

  π

  ）

  =

  -

  3

  5

  ，则

  cos

  （

  α

  -

  3

  π

  2

  ）

  =（　　）

  A． - 4 5

  B． - 3 5

  C． 3 5

  D． 4 5
  组卷：40引用：1难度：0.7

  解析

• 4．已知

  |

  a

  |

  =

  4

  ，

  e

  为单位向量，当向量

  a

  ，

  e

  的夹角α为

  2

  π

  3

  ，则向量

  a

  在向量

  e

  上的投影向量为（　　）

  A． a

  B． e

  C． - 2 e

  D． - e
  组卷：86引用：3难度：0.8

  解析

• 5．设f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）满足

  x

  2

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  x

  1

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  -

  x

  2

  ＜

  0

  且f（2）=4，则不等式f（x）＞2x的解集为（　　）

  A．（-2，0）∪（2，+∞）	B．（-2，0）∪（0，2）
  C．（-∞，-2）∪（2，+∞）	D．（-∞，-2）∪（0，2）
  组卷：103引用：1难度：0.8

  解析

• 6．宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形ABCD区域设计灯带．已知灯带AB=CD=10米，BC=20米，

  AD

  =

  10

  2

  米，且

  ∠

  A

  +

  ∠

  C

  =

  3

  π

  4

  ，则cos∠BCD=（　　）

  A． 3 5

  B．0

  C． 4 5

  D． 2 10
  组卷：28引用：1难度：0.6

  解析

• 7．在△ABC中，已知AB=4，

  ∠

  ABC

  =

  2

  π

  3

  ，外接圆半径为

  2

  21

  3

  ，点M，N分别是AC，AB的三等分点（

  CM

  =

  1

  3

  CA

  ，

  AN

  =

  1

  3

  AB

  ），BM与CN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（　　）

  A． - 36 74

  B． - 36 72

  C． 37 74

  D． 36 72
  组卷：63引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．宜昌卷桥河湿地公园是一幅美丽的田园湿地画卷，它将自然山体、阳光草坪、亲水草滩、芒草湿地、溪谷密林等有机融合，设计的十分精致优美．为了迎接2023年的春天，公园里开辟了一块等腰直角三角形ABC农田种植七彩油菜，其斜边BC=300米．为了方便游客观光，欲在BC上选择一点Q，修建两条观赏小径QM，QN，点M，N分别在边AB，AC上，且小径QM，QN与边BC的夹角都是

  π

  3

  ．区域QMB和区域QNC种植粉色油菜，区域AMQN种植黄色油菜．
  （1）随着春天到来，油菜均已开花，为了游客深度体验观赏，准备在种植黄色油菜区域内修建小径MN，当点Q在何处时，三条小径（QM，QN，MN）的长度之和最小？
  （2）种植粉色油菜的成本是100元/平方米，求种植粉色油菜的最少费用．
  组卷：16引用：1难度：0.4

  解析

• 22．定义非零向量

  OM

  =

  （

  a

  ,

  b

  ）

  的“伴随函数”为f（x）=acosx+bsinx（x∈R），非零向量

  OM

  =

  （

  a

  ,

  b

  ）

  为函数f（x）=acosx+bsinx（x∈R）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．
  （1）设

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  si

  n

  2

  x

  2

  -

  2

  cos

  （

  x

  +

  5

  π

  6

  ）

  -

  3

  2

  （

  x

  ∈

  R

  ）

  ，求出与f（x）的“伴随向量”共线的单位向量；
  （2）已知点M（a,b）满足a²-5ab+6b²＜0（ab≠0），向量

  OM

  的“伴随函数”g（x）在x=x₀处取得最小值，求

  tan

  （

  2

  x

  0

  -

  π

  4

  ）

  的取值范围；
  （3）向量

  OA

  =

  （

  1

  ，

  0

  ）

  ，其“伴随函数”为h（x），已知h（α）+h（β）=h（α+β），求h（α）的取值范围．
  组卷：91引用：1难度：0.3

  解析