2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．参数方程

  x = 1 - 3 t

  y = - 1 + 4 t

  （t∈R）所表示的直线的斜率为

  ．
  组卷：101引用：2难度：0.7

  解析

• 2．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，那么它的直角坐标方程是

  ．
  组卷：90引用：6难度：0.9

  解析

• 3．已知椭圆

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  16

  =

  1

  与双曲线

  x

  2

  m

  -

  y

  2

  5

  =

  1

  有共同的焦点，则m=
  组卷：176引用：12难度：0.8

  解析

• 4．已知直线l经过点A（-2，3），且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为

  ．
  组卷：133引用：3难度：0.8

  解析

• 5．若A为椭圆

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  9

  =

  1

  上的点，F₁、F₂为椭圆的左右焦点，则△AF₁F₂的周长

  ．
  组卷：87引用：3难度：0.8

  解析

• 6．抛物线y²=2px上一点Q（1，m）到抛物线焦点的距离为5，则实数m=

  ．
  组卷：81引用：2难度：0.9

  解析

• 7．著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为

  ．
  组卷：51引用：5难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共5题，满分76分）

• 20．我们把等轴双曲线的一部分C₁：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  -1（a＞0，y≥0）与半圆C₂：x²+y²=a²（y≤0）合成的曲线称作“异型”曲线C，其中C₁是焦距为2

  2

  的等轴双曲线的一部分，如图所示．
  （1）求“异型”曲线C的方程；
  （2）若P（0，p）（p＞0），Q为“异数”曲线C上的点，求|PQ|的最小值；
  （3）若直线l：y=kx-1与“异形”曲线C有两个公共点，求k的取值范围．
  组卷：39引用：2难度：0.3

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• 21．已知椭圆C₁：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）经过点M（1，

  3

  2

  ），且其右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点．
  （1）求椭圆C₁的方程；
  （2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点N（n,0），使得

  QP

  •

  NP

  =

  PQ

  •

  NQ

  ？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；
  （3）过点P₀（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点．
  组卷：162引用：5难度：0.1

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