已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M（1，32），且其右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点N（n,0），使得QP•NP=PQ•NQ？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
QP
NP
PQ
NQ
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）；
（2）存在，n∈（0，）；
（3）证明：设直线AB的方程为：y=k（x-4），k≠0，
代入，得：
（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，
∵过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，
∴由Δ=（-32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，得：k∈（-），
设A（x3，y3），B（x4，y4），E（x4，-y4），
则，，
则直线AE的方程为y-y3=，
令y=0得：x=-
=
=
=
==1．
∴直线AE过定点（1，0）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）存在，n∈（0，
1
4
（3）证明：设直线AB的方程为：y=k（x-4），k≠0，
代入
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，
∵过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，
∴由Δ=（-32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，得：k∈（-
1
2
，
1
2
设A（x3，y3），B（x4，y4），E（x4，-y4），
则
x
3
+
x
4
=
32
k
2
3
+
4
k
2
x
3
x
4
=
64
k
2
-
12
3
+
4
k
2
则直线AE的方程为y-y3=
y
3
+
y
4
x
3
-
x
4
（
x
-
x
3
）
令y=0得：x=-
y
3
•
x
3
-
x
4
y
3
+
y
4
+
x
3
=
x
3
y
4
+
x
4
y
3
y
3
+
y
4
=
x
3
•
k
（
x
4
-
4
）
+
x
4
•
k
（
x
4
-
4
）
k
（
x
3
+
x
4
-
8
）
=
2
x
3
x
4
-
4
（
x
3
+
x
4
）
x
3
+
x
4
-
8
=
2
•
64
k
2
-
12
3
+
4
k
2
-
4
•
32
k
2
3
+
4
k
2
32
k
2
3
+
4
k
2
-
8
∴直线AE过定点（1，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：162引用：5难度：0.1
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