2022-2023学年上海市虹口区复兴高级中学高一（下）期末数学试卷

一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

• 1．若tanx=1，

  x

  ∈

  （

  π

  2

  ，

  3

  π

  2

  ）

  ，则x=

  ．
  组卷：85引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知tanα=3，则

  cos

  （

  α

  -

  π

  2

  ）

  +

  cos

  （

  α

  +

  π

  ）

  2

  sinα

  =

  ．
  组卷：116引用：4难度：0.7

  解析

• 3．已知i是虚数单位，复数

  1

  +

  3

  i

  1

  +

  i

  =

  ．
  组卷：22引用：3难度：0.8

  解析

• 4．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于第

   

  象限．
  组卷：38引用：6难度：0.7

  解析

• 5．在等差数列{a_n}中，a₁₉₄₉=1949，a₁₀₂+a₁₉₂₁=2023，则a₇₄=

  ．
  组卷：114引用：2难度：0.8

  解析

• 6．关于x的一元二次方程x²+（m+2i）x+2+mi=0至少有一个实根，则实数m的取值是

  ．
  组卷：51引用：1难度：0.7

  解析

• 7．若

  |

  a

  |

  =

  1

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  ，且

  a

  与

  b

  的夹角为

  π

  3

  ，则

  |

  2

  a

  -

  b

  |

  =

  ．
  组卷：49引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题（14+14+14+16+18=76）

• 20．设复数z₁，z₂满足z₁z₂+2i•z₁-2i•z₂+1=0．
  （1）若z₁，z₂满足

  z

  2

  -

  z

  1

  =

  2

  i

  ，求z₁，z₂；
  （2）若z₁，z₂是实系数一元二次方程

  x

  2

  -

  2

  2

  x

  +

  p

  =

  0

  的两个虚根，求实数p的值；
  （3）若

  |

  z

  1

  |

  =

  3

  ，是否存在常数k,使得等式|z₂-4i|=k恒成立，若存在，试求出k；若不存在说明理由．
  组卷：478引用：2难度：0.5

  解析

• 21．已知集合S₂={

  a

  |

  a

  =（x,y），x∈N*，y∈N*}，O为坐标原点，若

  OA

  =（x₁，y₁），

  OB

  =（x₂，y₂），

  OA

  、

  OB

  ∈S₂，定义点A、B之间的距离为d（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
  （1）若

  OA

  =（3，2），

  OB

  =（1，x），d（A，B）≤3，求x的值；
  （2）记

  OI

  =（1，1）∈S₂，若d（I，A）=d（I，B）=p（p为常数），求d（A，B）的最大值，并写出一组此时满足条件的向量

  OA

  、

  OB

  ；
  （3）若

  OC

  =（x₃，y₃）∈S₂，试判断“存在λ＞0，使

  AB

  =

  λ

  BC

  ”是d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）”的什么条件？并证明．
  组卷：186引用：4难度：0.2

  解析