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2023-2024学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷

发布：2024/9/23 9:0:8

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.

1．已知集合A={x||x-2|＜1}，B={x|log₂x＜1}，则A∪B=（　　）
A．（0，3） B．（1，2） C．（-∞，3） D．（0，2）
组卷：24引用：3难度：0.9
解析
2．已知平面向量
a
，
b
满足（
a
+
b
）•
b
=2，且|
a
|=1，|
b
|=2，则|
a
+
b
|=（　　）
A．
3
B．
2
C．1 D．
2
3
组卷：281引用：8难度：0.8
解析
3．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{a_n}本身不是等差数列，但从{a_n}数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{b_n}（则称数列{a_n}为一阶等差数列），或者{b_n}仍旧不是等差数列，但从{b_n}数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{c_n}（则称数列{a_n}为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（　　）
A．2⁵ B．2 C．2²¹ D．2²⁸
组卷：76引用：7难度：0.6
解析
4．已知
sin
（
α
+
π
6
）
-
cosα
=
4
5
，则
cos
（
α
+
π
3
）
=（　　）
A．
3
5
B．
4
5
C．
-
3
5
D．
-
4
5
组卷：143引用：6难度：0.8
解析
5．已知函数
f
（
x
）
=
|
lo
g
2
（
x
-
1
）
|
，
1
＜
x
≤
3
x
2
-
10
x
+
22
，
x
＞
3
，若方程y=f（x）-m有4个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则
（
1
x
1
+
1
x
2
）
（
x
3
+
x
4
）
=（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
组卷：207引用：3难度：0.5
解析
6．设
a
=
10
sin
0
.
1
，
b
=
cos
1
20
，
c
=
20
sin
1
20
，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
组卷：46引用：4难度：0.5
解析
7．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AC=2，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则
ME
•
MF
=（　　）
A．-2 B．-
3
2
C．-1 D．-
1
2
组卷：250引用：8难度：0.6
解析

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四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分70分，其余各题满分70分，共70分。把答案填在答题卡的相应位置.

21．如图，某城市有一条从正西方（MO）通过市中心O后转向东偏北60°方向（ON）的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在OM，ON上分别设置两个出口A，B，B在A的东偏北θ的方向（A，B两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于A，B之间相距较远，计划在A，B之间设置一个服务区P．
（1）若P在O的正北方向且OP=2km,求A，B到市中心O的距离和最小时tanθ的值；
（2）若B在市中心O的距离为10km,此时P在∠AOB的平分线与AB的交点位置，且满足
OP
2
+
BP
2
≥
11
OP
•
BP
，求A到市中心O的最大距离．
组卷：131引用：5难度：0.2
解析
22．已知函数f（x）=xlnx.
（1）若a≤-2，证明：f（x）≥ax-e-³在（0，+∞）上恒成立；
（2）若方程．f（x）=b有两个实数根x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：
be
+
1
＜
x
2
-
x
1
＜
e
-
3
+
2
+
3
b
2
．
组卷：55引用：3难度：0.2
解析

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2023-2024学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.

1．已知集合A={x||x-2|＜1}，B={x|log2x＜1}，则A∪B=（ ）

2．已知平面向量a，b满足（a+b）•b=2，且|a|=1，|b|=2，则|a+b|=（ ）

4．已知sin（α+π6）-cosα=45，则cos（α+π3）=（ ）

5．已知函数f（x）=|log2（x-1）|，1＜x≤3x2-10x+22，x＞3，若方程y=f（x）-m有4个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（1x1+1x2）（x3+x4）=（ ）

6．设a=10sin0.1，b=cos120，c=20sin120，则（ ）

7．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AC=2，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME•MF=（ ）

四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分70分，其余各题满分70分，共70分。把答案填在答题卡的相应位置.

22．已知函数f（x）=xlnx.（1）若a≤-2，证明：f（x）≥ax-e-3在（0，+∞）上恒成立；（2）若方程．f（x）=b有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：be+1＜x2-x1＜e-3+2+3b2．

1．已知集合A={x||x-2|＜1}，B={x|log₂x＜1}，则A∪B=（　　）

2．已知平面向量
a
，
b
满足（
a
+
b
）•
b
=2，且|
a
|=1，|
b
|=2，则|
a
+
b
|=（　　）

4．已知
sin
（
α
+
π
6
）
-
cosα
=
4
5
，则
cos
（
α
+
π
3
）
=（　　）

5．已知函数
f
（
x
）
=
|
lo
g
2
（
x
-
1
）
|
，
1
＜
x
≤
3
x
2
-
10
x
+
22
，
x
＞
3
，若方程y=f（x）-m有4个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则
（
1
x
1
+
1
x
2
）
（
x
3
+
x
4
）
=（　　）

6．设
a
=
10
sin
0
.
1
，
b
=
cos
1
20
，
c
=
20
sin
1
20
，则（　　）

7．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AC=2，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则
ME
•
MF
=（　　）

22．已知函数f（x）=xlnx.
（1）若a≤-2，证明：f（x）≥ax-e-³在（0，+∞）上恒成立；
（2）若方程．f（x）=b有两个实数根x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：
be
+
1
＜
x
2
-
x
1
＜
e
-
3
+
2
+
3
b
2
．