2022-2023学年云南大学附中星耀学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={x∈Z|-1≤x＜4}，B={x|x²-4x≤0}，则A∩B=（　　）

  A．{1，2，3，4}

  B．{1，2，3}

  C．{0，1，2，3}

  D．（0，4）
  组卷：51引用：6难度：0.7

  解析

• 2．已知复数z满足z=（2-3i）（1+i），则z在复平面内对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：130引用：7难度：0.8

  解析

• 3．若向量

  a

  ，

  b

  的夹角为60°，且

  |

  a

  |

  =

  2

  ，

  |

  b

  |

  =

  4

  ，则

  |

  a

  -

  2

  b

  |

  =（　　）

  A． 13

  B． 2 13

  C．4

  D．8
  组卷：115引用：1难度：0.8

  解析

• 4．鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”．如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（　　）

  A． y = | x | + 1 - x 2 2 及 y = | x | - 1 - x 2 2	B． y = x + 1 - x 2 2 及 y = x - 1 - x 2 2
  C． y = | x | + 1 + x 2 2 及 y = | x | - 1 + x 2 2	D． y = x + 1 + x 2 2 及 y = x - 1 + x 2 2
  组卷：98引用：5难度：0.7

  解析

• 5．在梯形ABCD中，

  AB

  =

  1

  3

  DC

  ，

  BE

  =

  EC

  ，且

  AE

  =

  x

  AB

  +

  y

  AD

  ，则x+y=（　　）

  A． 1 6

  B． 1 2

  C． 5 2

  D． 7 2
  组卷：41引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为

  2

  ，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）

  A．π

  B．3π

  C．6π

  D．9π
  组卷：524引用：5难度：0.6

  解析

• 7．如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=50米，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB为（　　）米．

  A．50 2

  B．100 2

  C．50 3

  D．25 3
  组卷：47引用：7难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，

  A

  A

  1

  =

  3

  ．M，N分别为BC和CC₁的中点，P为侧棱BB₁上的动点．
  （Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB₁C₁C；
  （Ⅱ）若P为线段BB₁的中点，求证：A₁N∥平面APM；
  （Ⅲ）试判断直线BC₁与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．
  组卷：404引用：7难度：0.3

  解析

• 22．如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=2km,BC=4km,且△ACD为正三角形．
  （1）若∠BAC=

  π

  3

  ，求△ABD面积；
  （2）设∠ABC=α，试用α表示△ABD的面积，并求最大值．
  组卷：229引用：3难度：0.5

  解析