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2023-2024学年山西大学附中高三（上）第二次月考数学试卷（8月份）

发布：2024/9/1 13:0:8

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．设集合A={x|2x+3＞0}，B={x|x²+4x-5＜0}，则A∪B=（　　）
A．（-5，+∞） B．（-5，-
3
2
） C．（-
3
2
，1） D．（-
3
2
，+∞）
组卷：13引用：3难度：0.9
解析
2．某中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人的比赛成绩依次为：83，85，87，87，88，88，91，93，97（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（　　）
A．87 B．91 C．93 D．95
组卷：41引用：3难度：0.7
解析
3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄=6，S₈=18，则S₁₂=（　　）
A．30 B．36 C．42 D．54
组卷：739引用：8难度：0.7
解析
4．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x²+y²≤4，若将军从点A（3，1）处出发，河岸线所在直线方程为y=-x-5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
组卷：38引用：5难度：0.7
解析
5．如图，在△ABC中，设
AB
=
a
，
AC
=
b
，
BD
=
2
DC
，
AE
=
4
ED
，则
BE
=（　　）
A．
11
15
a
-
8
15
b
B．
2
3
a
-
8
15
b
C．
-
11
15
a
+
8
15
b
D．
-
2
3
a
+
8
15
b
组卷：799引用：26难度：0.7
解析
6．对于函数y=f（x），若存在f（x₀）=-f（-x₀），则称点（x₀，f（x₀））与点（-x₀，f（-x₀））是函数的一对“隐对称点”．若m＞0时，函数
f
（
x
）
=
lnx
,
x
＞
0
-
m
x
2
-
mx
,
x
≤
0
的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（　　）
A．
（
0
，
1
e
）
B．（1，+∞）
C．
（
0
，
1
e
）
∪
（
1
e
，
+
∞
）
D．（0，1）∪（1，+∞）
组卷：49引用：1难度：0.3
解析
7．已知P（2，4）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|+9|BF|的最小值为（　　）
A．24 B．28 C．30 D．32
组卷：231引用：3难度：0.5
解析

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．某校20名学生的数学成绩x_i（i=1，2，⋯，20）和知识竞赛成绩y_i（i=1，2，⋯，20）如下表：

学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

数学成绩x_i 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77

知识竞赛成绩y_i 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270

学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

数学成绩x_i 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35

知识竞赛成绩y_i 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5

计算可得数学成绩的平均值是
x
=
75
，知识竞赛成绩的平均值是
y
=
90
，并且
20
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
2
=
6464
，
20
∑
i
=
1
（
y
i
-
y
）
2
=
149450
，
20
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
（
y
i
-
y
）
=
21650
．
（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．
（2）设N∈N^*，变量x和变量y的一组样本数据为{（x_i，y_i）|i=1，2，⋯，N}，其中x_i（i=1，2，⋯，N）两两不相同，y_i（i=1，2，⋯，N）两两不相同．记x_i在{x_n|n=1，2，⋯，N}中的排名是第R_i位，y_i在{y_n|n=1，2，⋯，N}中的排名是第S_i位，i=1，2，⋯，N．定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”（记为ρ）为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数．
（i）记d_i=R_i-S_i，i=1，2，⋯，N．证明：
ρ
=
1
-
6
N
（
N
2
-
1
）
N
∑
i
=
1
d
2
i
．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到0.01）．
（3）比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．
r
=
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
（
y
i
-
y
）
n
∑
i
=
1
（
x
i
-
x
）
2
n
∑
i
=
1
（
y
i
-
y
）
2
；
n
∑
k
=
1
k
2
=
n
（
n
+
1
）
（
2
n
+
1
）
6
；
6464
×
149450
≈
31000
．

组卷：197引用：4难度：0.3

解析

22．双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点分别是F₁，F₂，离心率为3，点
（
3
2
4
，
1
）
在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）A，B分别为双曲线的左，右顶点，若点P为直线
x
=
1
3
上一点，直线PA与双曲线交于另一点M，直线PB与双曲线交于另一点N，求直线MN恒经过的定点坐标．
组卷：254引用：4难度：0.4
解析

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A． 11 15 a - 8 15 b	B． 2 3 a - 8 15 b
C． - 11 15 a + 8 15 b	D． - 2 3 a + 8 15 b

A．（ 0 ， 1 e ）	B．（1，+∞）
C．（ 0 ， 1 e ） ∪ （ 1 e ， + ∞ ）	D．（0，1）∪（1，+∞）

学生编号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数学成绩x_i	100	99	96	93	90	88	85	83	80	77
知识竞赛成绩y_i	290	160	220	200	65	70	90	100	60	270
学生编号i	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学成绩x_i	75	74	72	70	68	66	60	50	39	35
知识竞赛成绩y_i	45	35	40	50	25	30	20	15	10	5

2023-2024学年山西大学附中高三（上）第二次月考数学试卷（8月份）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．设集合A={x|2x+3＞0}，B={x|x2+4x-5＜0}，则A∪B=（ ）

2．某中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人的比赛成绩依次为：83，85，87，87，88，88，91，93，97（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（ ）

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=6，S8=18，则S12=（ ）

5．如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，BD=2DC，AE=4ED，则BE=（ ）

6．对于函数y=f（x），若存在f（x0）=-f（-x0），则称点（x0，f（x0））与点（-x0，f（-x0））是函数的一对“隐对称点”．若m＞0时，函数f（x）=lnx,x＞0-mx2-mx,x≤0的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（ ）

7．已知P（2，4）是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|+9|BF|的最小值为（ ）

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1．设集合A={x|2x+3＞0}，B={x|x²+4x-5＜0}，则A∪B=（　　）

2．某中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人的比赛成绩依次为：83，85，87，87，88，88，91，93，97（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（　　）

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄=6，S₈=18，则S₁₂=（　　）

5．如图，在△ABC中，设
AB
=
a
，
AC
=
b
，
BD
=
2
DC
，
AE
=
4
ED
，则
BE
=（　　）

7．已知P（2，4）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|+9|BF|的最小值为（　　）