2022-2023学年河南省许昌市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知

  a

  =

  （

  3

  ，-

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  ,

  y

  ,

  6

  ）

  ，若

  a

  与

  b

  共线，则x+y=（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  组卷：249引用：2难度：0.8

  解析

• 2．在等比数列{a_n}中，2a₂+a₃=3，2a₅+a₆=24，则数列{a_n}的公比为（　　）

  A． 1 2

  B．2

  C． 1 3

  D．3
  组卷：221引用：5难度：0.7

  解析

• 3．曲线f（x）=e^x（x²+x-2）在点（0，f（0））处的切线方程是（　　）

  A．x+y+2=0

  B．x-y+2=0

  C．2x-y+2=0

  D．2x+y+2=0
  组卷：62引用：2难度：0.8

  解析

• 4．如图是某地区2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（°C）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r=0.91，则下列结论正确的是（　　）

  A．月温差（月最高气温-月最低气温）的最大值出现在1月

  B．每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加

  C．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关

  D．9-12月的月温差相对于5-8月，波动性更小
  组卷：22引用：2难度：0.7

  解析

• 5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
  

  X	0	1
  P	9a2-a	3-8a

  则常数a的值为（　　）

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 1 3 或 2 3

  D． - 1 3 或 - 2 3
  组卷：269引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD=1，AB=2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P-ABCD的外接球体积为（　　）

  A． 16 π 3

  B． 76 π 3

  C． 32 3 π 9

  D． 32 3 π 27
  组卷：101引用：3难度：0.6

  解析

• 7．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有5种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（　　）

  A．360

  B．120

  C．420

  D．216
  组卷：87引用：1难度：0.5

  解析

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 21．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k-1（k∈N^*）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0＜p＜1），各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为P_k（例如：p₂表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p₃表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
  （1）若每个元件正常工作的概率

  p

  =

  2

  3

  ．
  ①当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值；
  ②计算p₃．
  （2）已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为

  1

  4

  ，每件高端产品的利润是2元．请用p_k表示出设备升级后单位时间内的利润y（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析一下能否提高利润．
  组卷：130引用：1难度：0.3

  解析

• 22．设t为实数，函数f（x）=e^x-2x+2t,x∈R．
  （1）求f（x）的单调区间与极值点；
  （2）求证：当t＞ln

  2

  e

  且x＞0时，e^x＞x²-2tx+1．
  组卷：35引用：1难度：0.5

  解析