2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．设集合A={（x,y）|y=2^x}，B={（x,y）|y=x²}，则A∩B的元素个数为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：57引用：5难度：0.7

  解析

• 2．欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e,虚数单位i与三角函数cosθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数

  z

  =

  e

  iπ

  2

  ，则z的虚部为（　　）

  A．i

  B．1

  C． 2 2 i

  D． 2 2
  组卷：39引用：7难度：0.8

  解析

• 3．已知圆M：（x-2）²+（y-1）²=1，圆N：（x+2）²+（y+1）²=1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（　　）

  A．y=0

  B．4x-3y=0

  C． x - 2 y + 5 = 0

  D． x + 2 y - 5 = 0
  组卷：148引用：3难度：0.7

  解析

• 4．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则△PAC的面积为（　　）

  A． 3

  B．2

  C． 2 2

  D． 2 3
  组卷：127引用：4难度：0.5

  解析

• 5．在数列{a_n}中，a₁=1，且函数f（x）=x⁵+a_n+1sinx-（2a_n+3）x+3的导函数有唯一零点，则a₉的值为（　　）

  A．1021

  B．1022

  C．1023

  D．1024
  组卷：89引用：8难度：0.6

  解析

• 6．△ABC中，

  sin

  （

  π

  2

  -

  B

  ）

  =

  cos

  2

  A

  ，则

  AC

  -

  BC

  AB

  的取值范围是（　　）

  A． （ - 1 ， 1 2 ）

  B． （ 1 3 ， 1 2 ）

  C． （ 1 2 ， 2 3 ）

  D． （ 1 3 ， 2 3 ）
  组卷：287引用：10难度：0.5

  解析

• 7．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的两焦点为F₁，F₂，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF₁与BF₂平行，AF₂交BF₁于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|=β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不必要也不充分条件
  组卷：54引用：1难度：0.4

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．
  （1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；
  （2）求四局比赛后，比赛结束的概率；
  （3）若P_i（i=0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P₀=0，P₆=1．证明：{P_i+1-P_i}（i=0，1，2，⋯，5）为等比数列．
  组卷：270引用：5难度：0.4

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• 22．已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y=x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y=-x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．
  （1）求C的方程；
  （2）点

  E

  （

  2

  2

  ，

  0

  ）

  ，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃．若

  （

  1

  k

  1

  +

  1

  k

  2

  ）

  •

  k

  3

  =

  -

  6

  ，求△PQE周长的取值范围．
  组卷：79引用：3难度：0.5

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