螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极小的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r,引力常量为G。
（1）求r＞R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示。根据在r＞R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（r＞R）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。求r=nR内暗物质的质量M′。
【答案】（1）r＞R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系为v=，（r＞R）；
（2）r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系为v=，（r≤R）；
（3）r=nR内暗物质的质量M′为（n-1）M，（n＞1）。
GM
r
（2）r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系为v=
GM
R
3
r
（3）r=nR内暗物质的质量M′为（n-1）M，（n＞1）。
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/22 8:0:8组卷：1085引用：1难度：0.5
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1．假设你经努力学习和刻苦训练后成为中国登月第一人，你站在半径为R的月球表面，从到月球表面高度为h处将一个小球由静止释放，经过时间t,小球落到月球表面。不考虑月球的自转，引力常量为G。求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的质量M。发布：2025/1/4 8:0:1组卷：27引用：1难度：0.5 -
2．2007年10月24日我国成功发射了“嫦娥一号”绕月卫星．我国计划2020年实现载人登月．若你通过努力学习、刻苦训练有幸成为中国登月第一人，而你为了测定月球表面附近的重力加速度进行了如下实验：在距月球表面高度h=20m处让一个小球由静止开始自由下落，下落的时间为t=5s.则（ ）
发布：2025/1/4 8:0:1组卷：6引用：1难度：0.7 -
3．假设你经过刻苦学习与训练后，成为我国登月的第一人。你站在半径为R的月球表面，用弹簧测力计测得质量为m的小球所受重力的大小为F。引力常量为G，不考虑月球的自转。
（1）求月球的质量M及其第一宇宙速度v；
（2）若你在距月球水平表面高度为h处，以大小为v0的速度沿水平方向抛出该小球，求该小球落到月球表面上的位置与抛出点间的水平距离x。发布：2025/1/4 8:0:1组卷：44引用：1难度：0.5
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