如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6过点（2，9），且交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中B点坐标（8，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点F是直线BC上方抛物线上的一动点，过点F作FD⊥BC，交BC于点D，过点F作y轴的平行线交直线BC于点E，过点D作DG⊥EF，交EF于点G，求DG的最大值及此时点F的坐标；
（3）在（2）问中DG取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点A、F、M、N为顶点的四边形是以AF为边长的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的一种情况的过程．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+x+6；
（2）DG的最大值为：，此时点F（4，9）；
（3）点N的坐标为：（13，15）或（13，3）或（1，-6）或（1，6）．
3
8
9
4
（2）DG的最大值为：
72
25
（3）点N的坐标为：（13，15）或（13，3）或（1，-6
3
3
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/10/13 11:0:2组卷：300引用：6难度：0.3
相似题
-
1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．发布：2025/6/23 12:30:1组卷：27643引用：102难度：0.5 -
2．如图，直线y=kx+b（b＜0）与抛物线y=ax2相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，抛物线y=ax2经过点（4，-2）
（1）求出a的值；
（2）若x1•OB-y2•OA=0，求b的值；
（3）将抛物线向右平移一个单位，再向上平移n的单位．若在第一象限的抛物线上存在这样的不同的两点M、N，使得M、N关于直线y=x对称，求n的取值范围．发布：2025/6/23 10:30:1组卷：53引用：1难度：0.3 -
3．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．发布：2025/6/23 11:30:2组卷：1904引用：25难度：0.1
