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【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法,以x2+2x-35=0为例,构造方法如下:
首先将方程x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为x+2,宽为x的矩形,按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形,则图①中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和,即4x(x+2)+22=4×35+4.因此,可得新方程(x+x+2)2=144.因为x表示边长,所以2x+2=12,即x=5.遗憾的是,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0,请将其解答过程补充完整:
第一步:将原方程变形为x2+32x-1=0,即x( x+32x+32)=1;
第二步:利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;(在画图区画出示意图,标明各边长)
第三步:根据大正方形的面积可得新的方程 (x+x+32)2=4×1+(32)2(x+x+32)2=4×1+(32)2,解得原方程的一个根为 x=12x=12;
【拓展应用】一般地,对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图②来解.已知图②是由四个面积为3的相同矩形构成,中间围成的正方形面积为4,那么此方程的系数a=±2±2,b=33,求得方程的一个正根为 1或31或3.
x
2
+
3
2
x
-
1
=
0
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
2
1
2
【答案】x+;(x+x+)2=4×1+()2;x=;±2;3;1或3
3
2
3
2
3
2
1
2
【解答】
【点评】
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发布:2024/8/27 10:0:8组卷:270引用:3难度:0.5
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