如图1，已知直线AB∥CD，点P、Q分别在直线AB和直线CD上的点，点O在直线AB与直线CD之间．（其中∠APO和∠CQO均为钝角）
（1）求证：∠POQ=∠BPO+∠DQO．
小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整）
证明：如图1，过O点作直线EF∥AB，
∵AB∥EF
∴∠BPO=∠POE（①两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴②EF∥CDEF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠EOQ=③∠DQO∠DQO
又∵∠POQ=∠POE+∠QOE
∴∠POQ=∠BPO+∠DQO
（2）若∠POQ=90°，请直接写出∠APO与∠CQO的数量关系：∠APO+∠CQO=270°∠APO+∠CQO=270°．
（3）若∠POQ的度数为α，且0°＜α＜180°，则∠APO与∠CQO的数量关系为 ∠APO+∠CQO=360°-α∠APO+∠CQO=360°-α．（用含α的式子表示）
（4）如图2，若∠OQD=60°，点M为平面内一动点，点N为射线QD上一动点，连接MN，QM的长为定值（QM＜OQ），∠OQM=15°，当QM+MN的值最小时，请直接写出∠QMN的度数．
【考点】三角形综合题．
【答案】两直线平行，内错角相等；EF∥CD；∠DQO；∠APO+∠CQO=270°；∠APO+∠CQO=360°-α
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：282引用：1难度：0.2
相似题
-
1．如图，△AOB中，OA=OB=6，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD．OC与AB交于点G，CD分别交OB、AB于点E、F．
（1）∠A与∠D的数量关系是：∠A ∠D；
（2）求证：△AOG≌△DOE；
（3）当A，O，D三点共线时，恰好OB⊥CD，求此时CD的长．发布：2025/5/25 10:0:1组卷：82引用：1难度：0.2 -
2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．
（1）求证：CD2=DG•DA；
（2）如图1，若点D是BC中点，求证：CF=2EF；
（3）如图2，若GC=2，GE=2，求证：点F是CE中点．2
发布：2025/5/25 11:0:2组卷：265引用：2难度：0.1 -
3．【阅读理解】
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC=180°，可证∠ABD=∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．
根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ；
【拓展延伸】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为 cm.发布：2025/5/25 9:0:1组卷：427引用：6难度：0.3
