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如图，已知一次函数y₁=
1
2
x+b的图象l与二次函数y₂=-x²+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2-
5
，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y₂＞y₁成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程
（
1
+
1
a
-
1
）
x
+
3
x
-
3
=0的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为
5
的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【答案】见试题解答内容

【解答】

【点评】

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发布：2024/5/27 14:0:0组卷：1835引用：53难度：0.1

相似题

1．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线经过B（3，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线对称轴上的一点，使PA+PC取得最小值，求点P的坐标；
（3）如图2，若M是线段BC上方抛物线上一动点，过点M作MD垂直于x轴，交线段BC于点D，是否存在点M使线段MD的长度最大，如存在求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/25 23:0:2组卷：196引用：3难度：0.3
解析
2．将抛物线y=ax²（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y=a（x-h）²+k.抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（-3，0），点P是抛物线H上的一个动点．

（1）求抛物线H的表达式．
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考：若点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），则线段P₁P₂的中点P₀的坐标为
（
x
1
+
x
2
2
，
y
1
+
y
2
2
）
．
发布：2025/5/25 23:0:2组卷：249引用：1难度：0.2
解析
3．在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-m）²+m（m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B．
（1）点A的坐标为
，点B的坐标为
；（用含m的式子表示）
（2）当0≤x≤4时，设抛物线y=-（x-m）²+m（m＞0）的最高点的纵坐标为n；
①当m=3时，n=
；当m=5时，n=
；
②求出n关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
③当抛物线的最高点到x轴的距离不大于2时，请直接写出m的取值范围．
发布：2025/5/25 23:0:2组卷：132引用：1难度：0.4
解析