[问题提出]：将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
[问题探究]：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为2的菱形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
如图1，从上往下，共有2行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2+1=3个；
（2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2+1=3个；
为了便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，共有2+1=3个．
即：第二行平行四边形共有2×3个．
所以如图1，平行四边形共有2×3+3-9-（2+1）²．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为1的菱形共有2²个，边长为2的菱形共有1²个，
所以：如图1，菱形共有2²+1²=5=

1

6

×2×3×5个
探究二：将一个边长为3的菱形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
如图2，从上往下，共有3行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3+2+1=6个；
（2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有3+2+1=6个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3+2+1=6个，即：第二行平行四边形共有2×6个．
（3）第三行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3+2+1=6个；底在第三行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3+2+1=6个．底在第三行还包括斜边长为3，底长为1～3的平行四边形，共有3+2+1=6个．即：第三行平行四边形共有3×6个．
所以：如图2，平行四边形共有3×6+2×6+6=（3+2+1）×6=（3+2+1）²．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为1的菱形共有3²个，边长为2的菱形共有2²个，边长为3的菱形共有1²个．
所以：如图2，菱形共有3²+2²+1²=14=

1

6

×3×4×7个．
探究三：将一个边长为4的菱形的四条边4等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？
如图3，从上往下，共有4行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4+3+2+1=10个．
（2）第二行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4+3+2+1=10个．底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～4的平行四边形，共有4+3+2+1=10个．
即：第二行平行四边形总共有2×10个．
（3）模仿上面的探究，第三行平行四边形总共有

3×（4+3+2+1）

3×（4+3+2+1）

个；
（4）按照以上规律，第四行平行四边形总共有

4×（4+3+2+1）

4×（4+3+2+1）

个．
所以：如图3，平行四边形总共有

（4+3+2+1）²

（4+3+2+1）²

个．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为1的菱形共有4²个，边长为2的菱形共有3²个，边长为3的菱形共有2²个，边长为4的菱形共有1²个．
所以：如图3，菱形共有4²+3²+2²+1²=30=

1

6

×

4×5×9

4×5×9

个．（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）
【问题解决】
将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接对边对应的等分点，根据上边的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是

（n+n-1+n-2+…+1）²

（n+n-1+n-2+…+1）²

和菱形的个数分别是

1

6

×

n（n+1）（2n+1）

n（n+1）（2n+1）

．（用含n的代数式表示）．
【问题应用】
将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，若得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是441个，则n=

6

6

．
【拓展延伸】
将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，当该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形的个数之比是135：19时，则n=

9

9

．