问题情景：
我们知道，如图（a），在△ABC中，若D，E分别是AB，AC的中点，则DE∥BC，且DE=12BC．
问题发现：（1）如图（b），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若F为DE的中点，BF的延长线交AC于点G．
①若BC=8，则EF=22；
②AGAC=1313．
问题拓展：（2）如图（c），在（1）的条件下，若H为CE的中点，BH交CD于点M．若BC=8，CD=6，求CM的长．
变式探究：若将问题（2）中的BH改为∠FBC的平分线呢？
（3）如图（d），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若F为DE的中点，BH为∠FBC的平分线交CD于点M．若BFBC=58，CD=6，请直接写出此时CM的长．
DE
=
1
2
BC
AG
AC
1
3
1
3
BF
BC
=
5
8
【考点】相似形综合题．
【答案】2；
1
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/13 9:0:1组卷：391引用：1难度：0.7
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1．在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．
感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为．发布：2025/6/16 19:30:1组卷：681引用：3难度：0.1 -
2．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
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（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
发布：2025/6/15 22:0:1组卷：1072引用：9难度：0.2 -
3．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AC=BC，DN=12，ME：EN=1：2，求线段AC的长．发布：2025/6/16 11:30:2组卷：851引用：7难度：0.3
