综合与探究
如图：抛物线y=ax2-2x+c经过点A（-6，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出对称轴l的表达式．
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一个动点．
①在对称轴l上是否存在点D，使得以点A、P、D为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②在y轴上是否存在点E与点P关于直线AC对称，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1），对称轴为x=-2；
（2）①在对称轴l上存在点D，使得以点A、P、D为顶点的三角形为等腰直角三角形；P（-4，6）或；
②在y轴上是否存在点E与点P关于直线AC对称；E（0，2）．
y
=
-
1
2
x
2
-
2
x
+
6
（2）①在对称轴l上存在点D，使得以点A、P、D为顶点的三角形为等腰直角三角形；P（-4，6）或
（
-
1
-
13
，
1
+
13
）
②在y轴上是否存在点E与点P关于直线AC对称；E（0，2）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/2 11:0:4组卷：201引用：2难度：0.1
相似题
-
1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），DE所在的直线是该抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接AD，P是AD上的动点，P′是点P关于DE的对称点，连接PE，过点P′作P′F∥PE，交x轴于点F，设四边形PP′FE的面积为y,EF=x,求y与x之间的函数关系式．发布：2025/6/16 2:0:1组卷：231引用：2难度：0.3 -
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+1MF是定值，并求出该定值；1NF
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．
发布：2025/6/16 5:0:1组卷：2172引用：5难度：0.4 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）若点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/16 5:30:3组卷：1379引用：2难度：0.1
