综合与探究
如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D（1，4），与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及点A，B、C的坐标；
（2）如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
（3）如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）点A、B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0）、（0，3）；
（2）P点的横坐标为：；
（3）存在，点N（4，1）或（4，3）或（3，4）．
（2）P点的横坐标为：
3
2
（3）存在，点N（4，1）或（4，3）或（3，4）．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/7/12 8:0:9组卷：346引用：3难度：0.3
相似题
-
1．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．发布：2025/6/14 23:30:1组卷：4755引用：21难度：0.1 -
2．如图，抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．12
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．发布：2025/6/15 6:30:1组卷：2010引用：14难度：0.5 -
3．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 ．发布：2025/6/14 23:30:1组卷：2330引用：24难度：0.7
