【问题提出】
（1）如图1，∠AOB=45°，在∠AOB内部有一点P，M、N分别是OA、OB上的动点，分别作点P关于边OA、OB的对称点P1，P2，连接P1，P2与OA、OB相交于M、N，则此时△PMN的周长最小，且顺次连接O，P1，P2后△OP1P2的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，
∴OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，PM=P1M，PN=P2N．
∴C△PMN=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN=P1P2，
即△PMN周长的最小值为P1P2．
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP）=90°．
∴△OP1P2是等腰直角三角形．
学以致用：若∠AOB=30°，在∠AOB内部有一点P，分别作点P关于边OA、OB的对称点P1，P2，顺次连接O，P1，P2，则△OP1P2的形状是 等边等边三角形．
（2）【问题探究】如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是BC的中点，若AD=h,请用含有h的代数式表示△ABC的面积．
（3）【问题解决】如图3，在四边形ABCD内有一点P，点P到顶点B的距离为10，∠ABC=60°，点M、N分别是AB、BC边上的动点，顺次连接P、M、N，使△PMN在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使△PMN在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出△PMN的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【答案】等边
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/18 19:0:1组卷：198引用：2难度：0.2
相似题
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1．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系 ；
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．12
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：．12发布：2025/6/24 19:0:1组卷：879引用：1难度：0.1 -
2．已知△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如图①，当AD与边BC相交，点D与点F在直线AC的两侧时，BD与CF的数量关系为．
（2）将图①中的菱形ADEF绕点A旋转α（0°＜α＜180°），如图②．
Ⅰ．判断（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②证明你的结论．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，当△ACE为直角三角形时，直接写出CE的长度．发布：2025/6/25 7:30:2组卷：365引用：4难度：0.1 -
3．如图，四边形ABCD是正方形，E是正方形ABCD内一点，F是正方形ABCD外一点，连接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，试判断△ECF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求BE：BF的值．
（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面积．7发布：2025/6/24 17:30:1组卷：59引用：1难度：0.5
