在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，以D为角的顶点作∠MDN=∠B=α．如图1，射线DN经过点A，DM交边AC于点E．
（1）不添加辅助线，请直接写出图1中所有与△ADE相似的三角形；
（2）如图2，将∠MDN从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线DM，DN分别交AC，AB于点E，F．
①求证：△BFD∽△CDE；
②如图3，若AB=AC=10，BC=16，在线段AC上有一点P，且AP=3，若点P始终在∠MDN内（包括边界上），求AF的取值范围；
③若α=55°，直接写出旋转角为多少度时，△BDF与△ABC相似．
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE；
（2）①见解析过程；
②；
③当旋转角为 20° 或35°时，△BDF与△ABC相似．
（2）①见解析过程；
②
0
≤
AF
≤
6
7
③当旋转角为 20° 或35°时，△BDF与△ABC相似．
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/19 1:0:9组卷：80引用：3难度：0.3
相似题
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1．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若BC=6，AD=4，则正方形PQMN的边长等于 ；PNBC+MNAD=1
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN；
（3）推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：EP=EQ；
（4）拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图4）．当∠NBM=30°时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．发布：2025/6/7 9:0:2组卷：103引用：3难度：0.3 -
2．图①、图②、图③都是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上．请按要求解答问题．（画图只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹）
要求：（1）如图①，=；BECE
（2）如图②，在BC上找一点F使BF=2；
（3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．
发布：2025/6/7 8:30:2组卷：210引用：4难度：0.5 -
3．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，△ABP与△PCD是否相似？（填“是”或“否”）．
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点 D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，
BC=，CE=9，则DE的长为 ．122
发布：2025/6/7 5:0:1组卷：395引用：5难度：0.4
