如图，在平面直角坐标系x Oy中，菱形OABC的边OC在x轴上，点C在点O的右侧，抛物线的图象经过O，A，B三点，∠AOC=60°，OA=4，若点D以每秒2个单位的速度从点O出发沿边OA向点A运动，同时点E以每秒3个单位的速度从点O出发沿边OC向点C运动，点F在AC上，∠DEF=60°，设运动时间为t.
（1）求抛物线解析式；
（2）设△ODE和△CEF的面积和为S，当t为何值时，S最小，并求出S的最小值；
（3）若点P在抛物线上，当t=1时，在平面内是否存在点Q，使得以DE为边、点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+x；
（2）当t=时，S最小，S的最小值为；
（3）存在，点Q的横坐标为4+或4-或4或-4．
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3
3
（2）当t=
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（3）存在，点Q的横坐标为4+
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：101引用：2难度：0.3
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1．如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴正半轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）两点，点P为抛物线的顶点，连接AB、BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠PBA的度数；
（3）如图2，点M从点O出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时点N从点A出发，沿着AB的方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于点E，NF⊥x轴交抛物线于点F，连接MN、EF．2
①当EF∥MN时，求点F的坐标；
②在M、N运动的过程中，存在t使得△BNP与△BMN相似，请直接写出t的值．发布：2025/5/25 22:30:2组卷：89引用：2难度：0.3 -
2．已知抛物线y=-ax2+4ax+5经过点（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点P（0，m）是y轴上的一个动点，过点P作垂直于y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x1＜x2．
①若x2-x1=3，求m的值；
②把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当新图象与x轴有四个交点时，直接写出m的取值范围．发布：2025/5/25 22:0:1组卷：386引用：1难度：0.4 -
3．已知抛物线
经过点A（0，2）、B（5，2），且与x轴交于C、D两点（点C在点D左侧）．L：y=ax2-52x+c
（1）求点C、D的坐标；
（2）判断△ABC的形状；
（3）把抛物线L向左或向右平移，使平移后的抛物线L′与x轴的一个交点为E，是否存在以A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出抛物线L′的表达式及平移方式；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/25 22:30:2组卷：105引用：1难度：0.3
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