综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

1

1

×

2

=

1

-

1

2

，

1

2

×

3

=

1

2

-

1

3

，

1

3

×

4

=

1

3

-

1

4

，

1

4

×

5

=

1

4

-

1

5

，
独立思考：（1）解答王老师提出的问题：第5个式子为

1

5

×

6

=

1

5

-

1

6

1

5

×

6

=

1

5

-

1

6

，第n个式子为

1

n

（

n

+

1

）

=

1

n

-

1

n

+

1

1

n

（

n

+

1

）

=

1

n

-

1

n

+

1

．
实践探究；（2）在（1）中找出规律，并利用规律计算：

1

1

×

2

+

1

2

×

3

+

1

3

×

4

+

1

4

×

5

+

⋅⋅⋅

+

1

2021

×

2022

问题拓展（3）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为2，该小组提出下面的问题，请你解答：
求

1

1

×

3

+

1

3

×

5

+

1

5

×

7

+

1

7

×

9

+

⋅⋅⋅

+

1

2021

×

2023

；
问题解决：
（4）求

1

1

+

2

+

1

1

+

2

+

3

+

1

1

+

2

+

3

+

4

+

1

1

+

2

+

3

+

4

+

5

+

⋅⋅⋅

+

1

1

+

2

+

3

+

⋅⋅⋅

+

2022

的值．