数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．
（1）求证：△ADC≌△EDB．
证明：延长AD到点E，使DE=AD．
在△ADC和△EDB中，
AD=ED ∠ADC=∠EDB（） CD=BD（中点定义）
，
∴△ADC≌△EDB（ SASSAS）．
（2）探究得出AD的取值范围是 1＜AD＜71＜AD＜7．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，在△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的长．
AD = ED |
∠ ADC =∠ EDB （ ） |
CD = BD （ 中点定义 ） |
【考点】三角形综合题．
【答案】SAS；1＜AD＜7
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/2 8:0:1组卷：64引用：2难度：0.5
相似题
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1．已知AB=BC，∠ABC=90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．
（1）如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，
①求证：CE+DE=AD；
②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；
（2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．
发布：2025/5/23 20:30:1组卷：1374引用：5难度：0.4 -
2．课本再现
如图1，在等边△ABC中，E为边AC上一点，D为BC上一点，且AE=CD，连接AD与BE相交于点F．
（1）AD与BE的数量关系是 ，AD与BE构成的锐角夹角∠BFD的度数是 ；
深入探究
（2）将图1中的AD延长至点G，使FG=BF，连接BG，CG，如图2所示．求证：GA平分∠BGC．（第一问的结论，本问可直接使用）
迁移应用
（3）如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，D，E分别是边BC，AC上的点，AD与BE相交于点F．若∠BAC=∠BFD，且BF=3AF，求值．BDCD
发布：2025/5/23 20:30:1组卷：1077引用：3难度：0.1 -
3．如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为一个动点，且点D到点C的距离为1，连接CD，AD，作EA⊥AD，使AE=AD．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）求证：BD⊥EC；
（3）直接写出BD最大和最小值；
（4）点D在直线AC上时，求BD的长．发布：2025/5/23 21:0:1组卷：103引用：2难度：0.4
