（一）问题提出
（1）平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上的点，他们对应的横坐标分别是xA，xB，C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yc，yD，那么A、B两点间的距离，C、D两点间的距离分别是多少？
（2）平面直角坐标系中任意一点P（x,y）到原点的距离是多少？
（3）已知平面上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1，P2的距离|P1P2|．
（二）问题探究
（1）求平面直角坐标系中x轴上的两点E（5，0）、F（-2，0）之间的距离，可以借助绝对值表示|EF|=|5-（-2）|=7，对于y轴上两点，M（0，-3）、N（0，5）之间的距离|MN|=|3-5|=2．
结论：在平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，则A、B两点间的距离|AB|=|xA-xB||xA-xB|；C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yc，yD，那么C、D两点间的距离|CD|=|yC-yD||yC-yD|．
（2）如图1：平面直角坐标系中任意一点B（3，4），过B向x轴上作垂线，垂足为M，由勾股定理得|OB|=55；结论：平面直角坐标系中任意一点P（x,y）到原点的距离|OP|=x2+y2x2+y2；
（3）如图2，要求AB或DE的长度，可以转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长，例如：从坐标系中发现：D（-7，5），E（4，-3）所以|DF|=|5-（-3）|=8，|EF|=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理得：|DE|=82+112=185．在图2中请用上面的方法求线段AB的长：AB=55；在图3中：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示：|P1P2|=（x1-x2）2+（y1-y2）2（x1-x2）2+（y1-y2）2．
（三）拓展应用
试用以上所得结论解决如下问题：已知A（0，1），B（4，3）．
（1）直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长．
（2）C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，则C的坐标为 （3，0）或（0，6）（3，0）或（0，6）（不必写出解答过程，直接写出即可）．
x
2
+
y
2
x
2
+
y
2
8
2
+
1
1
2
185
（
x
1
-
x
2
）
2
+
（
y
1
-
y
2
）
2
（
x
1
-
x
2
）
2
+
（
y
1
-
y
2
）
2
【考点】三角形综合题．
【答案】|xA-xB|；|yC-yD|；5；；5；；（3，0）或（0，6）
x
2
+
y
2
（
x
1
-
x
2
）
2
+
（
y
1
-
y
2
）
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/2 15:0:2组卷：239引用：1难度：0.5
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1．（1）阅读理解：
如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
发布：2025/6/17 11:0:1组卷：624引用：7难度：0.4 -
2．已知，如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴负半轴上一点．
（1）若BP平分∠ABO，AP平分∠BAO的外角，求∠P．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，BP平分∠ABC，且P在AC的垂直平分线上．若∠ABC=2∠ACB，求证：AP∥BC．
（3）在第（2）问的条件下，D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么条件时，DP=AE，请说明理由．
发布：2025/6/17 19:30:1组卷：75引用：1难度：0.3 -
3．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．∠ACB=∠DFE=90°，∠A=30°，∠DEF=45°，BC=EF=8cm,点P是线段AB的中点．△DEF从图1的位置出发，以4cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点Q，连接PQ．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t=1时，求AQ的长；
（2）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（3）当t为何值时，△APQ是直角三角形？
发布：2025/6/17 21:30:1组卷：286引用：3难度：0.1
