定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则这两个函数互为“旋转函数”．请解决下列问题：
（1）求出二次函数y=x2-2x+1的旋转函数的顶点坐标；
（2）若二次函数y1=x2+（m+8n）x+16与y2=-x2-6x+2n-7m互为“旋转函数”，直线l与函数y1，y2的图象都只有一个公共点，求（m+n）2020的值以及直线l的解析式；
（3）在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知点P（2，0），⊙p与y轴相切，交x轴正半轴于点A，点B在⊙p上，且∠BAO=30°，△A′OB'与△AOB关于原点对称，若两个二次函数的图象分别经过A′、O、B′与A、O、B三点，求证：这两个二次函数互为“旋转函数”．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2-2x-1，顶点坐标为（-1，0）；
（2）1；y=2x或y=-14x；
（3）证明见解答；
（2）1；y=2x或y=-14x；
（3）证明见解答；
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/25 4:0:1组卷：505引用：2难度：0.4
相似题
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1．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=x-5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
发布：2025/5/25 16:0:2组卷：12004引用：22难度：0.3 -
2．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）请求此抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△QBC的周长最小，请求出点Q的坐标；
（3）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点P（不与点M重合），使得△ACP的面积等于△ACM的面积，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/25 15:30:2组卷：79引用：3难度：0.5 -
3．如图，抛物线y=-
x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．12
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．
发布：2025/5/25 16:0:2组卷：1733引用：7难度：0.1
