已知，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4）与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）如图2，若直线y=x+m与线段AC交于点M，与线段BC交于点N，是否存在M，N使得△OMN为直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
y
=
1
2
x
2
+
bx
+
c
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2+x-4．（2）3．（3）-或6-2．
1
2
8
3
17
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/26 14:0:2组卷：33引用：1难度：0.5
相似题
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1．已知抛物线y=x2+bx+c关于直线x=1对称，且过点（2，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过D（m,-1）的直线DE：y=k1x+b1（k1＞0）和直线DF：y=k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．
①求k1k2的值；
②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．发布：2025/6/12 6:0:2组卷：324引用：4难度：0.3 -
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-4ax-5a+5a2（a为常数，且a≠0）．
（1）抛物线顶点坐标为 （用含a的代数式表示）．
（2）当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
②点P（x0，y0）在此抛物线上，当-1≤x0≤m时，y0的最大值为5，最小值为-4，求m的取值范围．
（3）以A（a,0）、B（4a,0）、C（4a,-4）、D（a,-4）四个点为顶点作矩形ABCD，将此抛物线在矩形ABCD内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d,当d≤2时，直接写出a的取值范围．发布：2025/6/12 6:0:2组卷：384引用：2难度：0.3 -
3．已知抛物线y=a（x-3）2+过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示，以AB为直径作圆，记作⊙D．254
（1）试判断点C与⊙D的位置关系；
（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/12 6:0:2组卷：169引用：2难度：0.4
