综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析
（1）如图1，正方形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，将射线PD绕点P顺时针旋转∠ADC的度数，交直线BC于点Q．
小明的思考如下：

连接DQ，
∵AD∥CQ，∠ADC=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DAC，（依据1）
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPQ+∠DCQ=180°，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，（依据2）
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP．（依据3）

填空：①依据1应为
两直线平行，内错角相等
两直线平行，内错角相等
，
②依据2应为
同弧所对的圆周角相等
同弧所对的圆周角相等
，
③依据3应为
等角对等边
等角对等边
；
一般结论探究
（2）将图1中的正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
（3）若∠ADC=120°，AD=3，当△PQC为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长．

【考点】四点共圆．

【答案】两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/26 8:0:9组卷：315引用：4难度：0.2

相似题

2．综合与实践：
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1所示，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2所示，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D=180°，（依据1）
∵∠B=∠D，
∴∠AEC+∠B=180°，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上，（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上；
反思归纳：

①圆内接四边形对角互补；
②对角互补的四边形四个顶点共圆；
③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：
；（从框内选一个选项，直接填序号）
依据2：
．（从框内选一个选项，直接填序号）
（2）如图3所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2=80°，∠3=42°，则∠4的度数为
．

发布：2024/9/21 14:0:9组卷：274引用：1难度：0.4