在平面直角坐标系xOy中有两点A，B，若在y轴上有一点P，连接PA，PB，当∠APB=45°时，则称点P为线段AB关于y轴的“半直点”．例：如图，点A（-3，1），B（-3，-2），则点P（0，1）就是线段AB关于y轴的一个“半直点”．
（1）示例中的线段AB关于y轴的另一个“半直点”的坐标为 （0，-2）（0，-2）．
（2）若点P为抛物线y=ax2-（43+9a）x+7+18a上的定线段CD关于y轴的“半直点”，求点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，点A与点B的坐标分别为（1，0），（m,0），点P为线段AB关于y轴的“半直点”，对于y轴上任意一点Q，都有∠AQB≤∠APB，求m的值．
y
=
a
x
2
-
（
4
3
+
9
a
）
x
+
7
+
18
a
【考点】二次函数综合题．
【答案】（0，-2）
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/7 18:0:8组卷：114引用：2难度：0.5
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1．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．12
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA+45°时，求点P的坐标．发布：2025/6/7 20:0:2组卷：80引用：1难度：0.2 -
2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数
的图象经过点B（4，0），交y轴于点A，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，且对称轴为直线x=-1．y=-34x+m
（1）请求出m,b,c的值；
（2）点C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点P，使得以点P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，不必说明理由；若不存在，请说明理由；
（3）将直线AB向下平移a个单位，使得直线AB与抛物线有且只有一个交点，求a的值；
（4）点D在y轴上，且位于点A下方，点M在二次函数的图象上，点N在一次函数的图象上，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．发布：2025/6/8 1:0:1组卷：104引用：2难度：0.1 -
3．如图①，定义：直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x,y轴分别相交于A，B两点．将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫作直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线l叫做抛物线P的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．
（1）已知直线l：y=-2x+2，则它的纠缠抛物线P的函数解析式是 ．
（2）判断y=-2x+2k与是否“互为纠缠线”并说明理由．y=-1kx2-x+2k
（3）如图②，已知直线l：y=-2x+4，它的纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E．点F在直线l上．点Q在抛物线P的对称轴上，当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，直接写出点Q的坐标．发布：2025/6/7 21:0:1组卷：47引用：1难度：0.3
