问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？
（1）直接判断：AE ==BF（填“=”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处．
①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由；
②若AB=6，点P在BD上，BD=3BP，直接写出PH′+22AN的最小值为 217217．
2
2
17
17
【考点】四边形综合题．
【答案】=；2
17
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/8 8:0:10组卷：1137引用：3难度：0.1
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1．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
（1）如图1，当点P在线段BD上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 ；CE与AD的位置关系是 ；
（2）当点P在线段BD的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，若AB=2，BE=，求四边形ADPE的面积．31
发布：2025/5/24 3:0:1组卷：722引用：3难度：0.3 -
2．问题探究
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 ；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，连接DE、EF、BD，EF与BD相交于点M，若BD=12，求BM的长；
问题解决
（3）如图3，某农业中心有一块形状为矩形ABCD的试验田，其中AB=6km,AD=8km,点P是边BC上的一个动点，管理人员打算扩建该试验田，将BC段继续向前延伸至E处，再将DE连接起来，组成新的种植区域△CDE，计划在△CDE区域内种植蔬菜，在矩形ABCD区域内种植玉米，沿AE、DP修建灌溉水渠，两条水渠交汇于点G，并沿BG修建一条小路．根据设计要求EC=3PC，且小路BG要尽可能的短，问能否达到该规划的设计要求？若能，请求出小路BG的最小值；若不能，请说明理由．
发布：2025/5/24 3:0:1组卷：174引用：1难度：0.2 -
3．如图，在四边形ABCD中，AD=11，BC=CD=13，对角线AC=20，点E是AB边上一点，连接CE．
（1）若AB＞AD且AC平分∠DAB，
①当AE=AD时，求证：CE=BC；
②求线段CE的最小值；
（2）当点E是AB边的中点，且CE=BC时，直接写出△ABC的面积．12发布：2025/5/24 3:0:1组卷：152引用：1难度：0.4
