如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-16x2+bx+c与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为抛物线上第二象限内的一个动点，连接AP、OP，记AC和OP的交点为点D，过点O作AC的平行线交抛物线分别于点E、点F，点G为直线EF上的一个动点，连接GA、GD．当S△APDS△AGD最大时，求S△APDS△AGD的最大值和此时点P的坐标．
（3）如图2，将△AOC绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△A1OC1使得OC1∥AC，点M是x轴上的一个动点，点N是平面内任意一点．是否存在这样的点M、N，使得以点A1、C1、M、N为顶点的四边形是以A1M为一边的菱形．若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
1
6
S
△
APD
S
△
AGD
S
△
APD
S
△
AGD
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2-x+4；
（2）最大值为，此时，点P（-3，3.5）；
（3）存在，点N的坐标为：（，-）或（，-）或（-，2）．
1
6
1
3
（2）
S
△
APD
S
△
AGD
3
8
（3）存在，点N的坐标为：（
4
286
+
24
13
13
10
13
13
-
4
286
+
24
13
13
10
13
13
5
13
12
13
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/7 3:0:8组卷：284引用：1难度：0.3
相似题
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1．抛物线y=x2-1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．32
②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．
发布：2025/5/24 14:30:1组卷：4560引用：6难度：0.3 -
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．2
发布：2025/5/24 14:0:2组卷：3322引用：11难度：0.3 -
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+5经过点A（-1，0）、B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移6个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新的抛物线．若新抛物线的顶点D'在△ABC内，求h的取值范围；
（3）点P为线段BC上一动点（点P不与B、C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．发布：2025/5/24 14:0:2组卷：115引用：1难度：0.1
