综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在▱ABCD中，点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD是菱形．
数学思考：
（1）请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
问题解决：
“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，AP=3，PD=4，DC=10．则AE的长为 2.52.5．（直接写出结果）
【考点】四边形综合题．
【答案】2.5
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/22 6:0:1组卷：509引用：5难度：0.1
相似题
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1．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，点P是边AD上的一个动点．
【操作判断】
（1）如图1，甲同学先将矩形ABCD对折，使得AD与BC重合，展开得到折痕EF．将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在EF上的M处，则线段AM与线段PB的位置关系为 ；∠MBC的度数为 ；
【迁移探究】
（2）如图2，乙同学将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在矩形ABCD的对角线上，求此时AP的长；
【综合应用】
（3）如图3，点Q在边AB上运动，且始终满足PQ∥BD，以PQ为折叠，将△APQ翻折，求折叠后△APQ与△ABD重叠部分面积的最大值，并求出此时AP的长．
发布：2025/5/23 0:30:1组卷：594引用：5难度：0.1 -
2．综合与实践课上，老师让同学们准备矩形纸片ABCD，开展数学活动．
（1）折一折，画一画
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：P为AD上一点，沿BP折叠，使点A落在EF上的点M处，连接PM并延长交BC于点Q．试判断△BPQ的形状 ；
（2）剪一剪，移一移
操作三：把纸片展平，沿BP，PQ剪开．
操作四：将△ABP沿BQ方向平移得到△A'B'P'，若A′B′交BP于点G，B′P′交PQ于点H．
①试判断四边形BPP′B′的形状并说明理由；
②连接GH，若AB=3，当△PGH为直角三角形时，请直接写出平移的距离m=．
发布：2025/5/23 0:30:1组卷：184引用：1难度：0.3 -
3．已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s.点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．
根据题意解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）当QP⊥BD时，求t的值；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t,使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 0:0:1组卷：2630引用：4难度：0.1
