△ABC中，∠B=60°．
（1）如图1，若AC＞BC，CD平分∠ACB交AB于点D，且AD=3BD．证明：∠A=30°；
（2）如图2，若AC＜BC，取AC中点E，将CE绕点C逆时针旋转60°至CF，连接BF并延长至G，使BF=FG，猜想线段AB、BC、CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，若AC=BC，P为平面内一点，将△ABP沿直线AB翻折至△ABQ，当3AQ+2BQ+13CQ取得最小值时，直接写出BPCQ的值．
3
13
BP
CQ
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）BC=AB+CG，理由见解析；
（3）．
（2）BC=AB+CG，理由见解析；
（3）
2
13
+
3
39
13
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/11 8:0:9组卷：376引用：2难度：0.1
相似题
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1．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
发布：2025/6/15 22:0:1组卷：1072引用：9难度：0.2 -
2．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AC=BC，DN=12，ME：EN=1：2，求线段AC的长．发布：2025/6/16 11:30:2组卷：851引用：7难度：0.3 -
3．在△ABC中，CD是中线，E，F分别为BC，AC上的一点，连接EF交CD于点P．
（1）如图1，若F为AC的中点，CE=2BE，求的值；DFEC
（2）如图2，设=m,CEBC=n（n＜CFAC），若m+n=4mn,求证：PD=PC；12
（3）如图3，F为AC的中点，连接AE交CD于点Q，若QD=QP，直接写出的值．BEEC
发布：2025/6/15 15:0:1组卷：334引用：2难度：0.3
