我们即将学到直角三角形的一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，Q为斜边AB中点，则CQ=12AB，请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：
已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BFAE∥BF，QE与QF的数量关系式 QE=QFQE=QF；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段AB的延长线上时，（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
CQ
=
1
2
AB
【考点】几何变换综合题．
【答案】AE∥BF；QE=QF
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/17 13:0:5组卷：177引用：1难度：0.2
相似题
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1．阅读下面材料，完成（1）～（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，△ABC中，AC=BC=a,∠ACB=90°，点D在AB上，且AD=kAB（其中0＜k＜），直线CD绕点D顺时针旋转90°与直线CB绕点B逆时针旋转90°后相交于点E，探究线段DC、DE的数量关系，并证明．12
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现DC与DE相等”；
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到DC与DE相等”
小强：“通过进一步的推理计算，可以得到BE与BC的数量关系”
老师：“保留原题条件，连接CE交AB于点O．如果给出BO与DO的数量关系，那么可以求出CO•EO的值”
（1）在图1中将图补充完整，并证明DC=DE；
（2）直接写出线段BE与BC的数量关系（用含k的代数式表示）；
（3）在图2中将图补充完整，若BO=DO，求CO•EO的值（用含a的代数式表示）．513发布：2025/6/16 18:30:2组卷：538引用：2难度：0.2 -
2．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．
发布：2025/6/16 20:30:1组卷：7189引用：10难度：0.1 -
3．如图①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在直线AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转60°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在直线AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．
①∠BEP=；
②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ．
（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
（3）当点P在直线AD上运动时，求AE的最小值．发布：2025/6/17 6:0:2组卷：133引用：2难度：0.3
